3，16，所以有：33中，成立，所以，对应的数值y是序号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an2+bn+c，把A（c1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入y=an2+bn+163
23
21322132
类型一 数式规律1、数列型数字问题例1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_________．【答案】：50【解析】：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；第一个数是1，第二个数数1+1，第三个数是1+1+3，第四个数是1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是1+1+3+5+7+9， 为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0，这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，26=1+（5-1）2，这样，第n个数为1+（n-1）2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+（n-1）2的值，此时，代数式1+（n-1）2的值为1+（8-1）2=50。所以，本空填50。例2、古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_________.【答案】：199【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。当序号为1时，对应的值是1，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，1）；当序号为2时，对应的值是3，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，3）；当序号为3时，对应的值是6，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，6）；因为，


1，b=1，c=0，所以，y=
22
1n2+1n，因此，当n=100时，y= 1×1002+1×100，当n=98时，y=
2222
1×982+1×98，因此（1×1002+1×100）-（1×982+1×98）=199，所以该空应该填199。2、图示型数字问题例3、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）　A． B． C． D．【答案】：A【解析】：第一个图需要火柴的根数是8，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，8）；第二个图需要火柴的根数是14，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，14）；第三个图需要火柴的根数是20，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，20）；因为，
222222
14，820，所以有：14141y【解析】：成立，所以，每个图形中所需要的火柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b，把A（1，8），B（2，14）分别代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=4，解得：k=拼0=b=2，所以，，6n+2。因此选A。例4、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律6接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。【答案】：582014
66
21322132
得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=


仔细观察第一个图，正方形的个数为1，第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方形的个数为1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n2-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41个。所以，本空填50。例5、按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.【答案】：14,3n+2【解析】：仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图1中三角形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4=(2+2)个，左右两边各2个，即为2+(2+2)+2个，第三个图形中三角形的特点是中间是5=(3+2)个，左右分别是3个，即为3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中三角形的个数为n+（n+2）+n =3n+2，这样，第4个图形中三角形正方形的个数，也就是当n=4时，代数式3n+2的值，所以，代数式的值为：3n+2=3×4+2=14个。所以，本题的两个空分别填14和3n+2。例6、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图： 第一层有2×3听罐头，第二层有3×4听罐头，第三层有4×5听罐头，……根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有 听罐头（用含n的式子表示）。


n……
11
x【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。仔细观察式子，不难发现等式左边中的（x-1）是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是1，第二个等式中的多项式的次数为2， 所以，第n个等式中的多项式的1231
【答案】：n2+3n+2【解析】：仔细观察图形，第一层有2×3听罐头，对应的序号为1，第一个数字2与序号1的关系是序号+1，第二个数字是3，它与序号的关系是序号+2；第二层有3×4听罐头，对应的序号为2，第一个数字3与序号的关系是序号+1，第二个数字是4，它与序号的关系是序号+2；第三层有4×5听罐头，对应的序号为3，第一个数字4与序号的关系是序号+1，第二个数字是5，它与序号的关系是序号+2；分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n层中有（n+1）（n+2）听罐头，即n2+3n+2。所以，本题的空填n2+3n+2。例7、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有 个。【答案】：2n+1【解析】：仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱形，………仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。所以，第n个图形中有2n+1个菱形。3、恒等式型数字问题例8、试观察下列各式的规律，然后填空：……则_______________。【答案】：


11
x。例9、观察下列各式：　　　　　　……依此规律，第n个等式（n为正整数）为 。【答案】：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。等式左边底数的特点是，个位数字都5，是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是1、2、3、4…………；等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和；第三个数字又是一个固定的常数100；第四个数字是常数5的平方，也是固定不变的。通过分析，我们知1
道在这里对应的序号是问题的根本。而第n个等式的序号为n，所以第n个等式应该是：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。例10、观察下列等式： 第一行 3=4－1 第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－16 … …　按照上
述规律，第n行的等式为____________ 【答案】：2n+1=（n+1）2- n2。【解析】：等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9 …，这些奇数
可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n 个奇数为2n+1，这样，我们就把等式
次数为n，这是等式左边的变化规律；等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母x的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母x的指数等于等式的序号加1。所以，第10个等式的结果为


来了；等式右边的特点是：
被减数为4、9、16、25、…恰好是22，32，42，52，…等对应的幂，幂
的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个
被减数为（n+1）2；减
数分别为1、4、9、16…恰好是12，22，32，42，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一
部分规律，第n 个减数为n2；所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n2。例11、观察下列各式：请你
将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来 。【答案】：
11
nn=( +1 )
n2【解析】：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是：n。被开2
方数中，第一个加数分别是1、2、3、………等的自然数，第二个加数是一个分数，且分子都是1，是固定不变的，这就是一
条规律；分母分别是3、4、5、6………，这些数与第一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律；等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是2、3、4、5、………，这些数与左边的
被开方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的
被开方数中的第一个加数+1，这是右边的第一个规律；而
被开方数也是一个分数，