第2节　直线的交点坐标与距离公式课程标准解读1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．[知识梳理]1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)相交□ k1≠ k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝□ － 1□ A1A2＋ B1B2＝ 0平行□ k1＝ k2 且 b1≠ b2或重合□ k1＝ k2 且 b1＝ b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0　(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．3．三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ □_．(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝□．(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝□．常用结论1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n≠C)．2．有关对称点的结论


点关于点、线对称点(x，y)(a，b)(2a－x，2b－y)x＝a(2a－x，y)y＝x(y，x)x＋y＝k(k－y，k－x)x－y＝k(k＋y，x－k)[诊断自测]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)直线x＋y－3＝0与直线x－y＋1＝0的交点坐标是(　　)A．(2，2)　B．(－2，2)　C．(－1，3)　D．(1，2)解析：D　联立两直线有解得直线x＋y－3＝0与直线x－y＋1＝0的交点坐标是(1，2)．故选D．3．(教材改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)A． B． C．7 D．解析：D　由题意知，a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.故选D．4．(易错自纠)已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．解析：由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝或a＝－4.答案：或－45．(易错自纠)直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为________．解析：依题意得(2m－1)m＋3m＝0，解得m＝0或m＝－1.答案：0或－1


考点一　两条直线的平行与垂直(基础性)1．若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c等于(　　)A．－2　　B．－4　　C．－6　　D．－8解析：B　由已知得×＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.2．已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：A　直线x＋my－1＝0与直线nx＋y＋1＝0平行，则＝≠，∴mn＝1，充分性成立．而m＝－1，n＝－1时，mn＝1，但x－y－1＝0，与－x＋y＋1＝0重合，必要性不成立．3．(多选题)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3B．若l1∥l2，则m＝3C．若l1⊥l2，则m＝－D．若l1⊥l2，则m＝解析：BD　若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C不正确，D正确．4．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．解析：由方程组解得即交点为(－，)．因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝.


由点斜式得所求直线方程为y－＝(x＋)，即4x－3y＋9＝0.答案：4x－3y＋9＝01．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．考点二　两直线的交点与距离问题(基础性)1．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)A．[，)　　　B．[，)C．(，) D．(，)解析：C　由可得因为两直线的交点位于第一象限，所以解得k＞1.设直线l的倾斜角为α，则k＝tan α＞1，又0≤α＜π，所以＜α＜，所以直线l的倾斜角的取值范围是(，)，故选C．2．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)A．1　　　B．　　　C．　　　D．2解析：B　记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝.故选B．3．(多选题)(2022·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0解析：BD　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意知d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，


即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.1．求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)求两平行线间的距离时要把两直线方程中x，y的系数化为相等，再利用距离公式求解．考点三　对称问题(综合性)[角度1]　点关于点的对称　过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________．[解析]　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.[答案]　x＋4y－4＝0[角度2]　点关于直线的对称　已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大．[解]　(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，则解得所以C′(－1，1)．所以直线AC′的方程为y＝1.由得直线AC′与直线l的交点为P(，1)，此时|AP|＋|CP|取最小值．图①　　　　　　　　图②(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，则解得


所以B′(3，3)，所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，由得直线AB′与直线l的交点为Q(2，5)，此时||AQ|－|BQ||取最大值．[角度3]　直线关于直线的对称　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是____________．[解析]　设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由得∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.[答案]　x－2y＋3＝0解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．解：(1)设A′(x，y)，则解得即A′(－，)．(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则解得即M′(，)．设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，


∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.解法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)．∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.考点四　直线系方程的应用(综合性)[角度1]　平行直线系、垂直直线系　(1)与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程为____________．(2)经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为____________．[解析]　(1)由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线l过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.(2)因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋d＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋d＝0，解得d＝0，即所求直线�