人教版第十二单元 全等三角形的判定


ˊBˊC
ˊ
ABC什么叫全等三角形？两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。A


ˊBˊC
ˊAB=A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’∠∠A=∠∠A’ ,∠∠B=∠∠B’,∠∠C=∠∠C’全等三角形共有6组元素(3组对应边、3组对应角)
ABC全等三角形的性质？全等三角形：对应边相等，对应角相等。 △ABC ≌ △A’B’C’A


　 三角形的6组元素(3组对应边、3组对应角)中，要使两个三角形全等，到底需要满意哪些条件？


6选1 or 6选2（一个角对应相等）——（一条边对应相等）////（两条边对应相等）（两个角对应相等）6选1：一个角对应相等的两个三角形不肯定全等；一条边对应相等的两个三角形不肯定全等；6选2： 两个角对应相等的两个三角形不肯定全等；两条边对应相等的两个三角形不肯定全等；一角和一边对应相等的两个三角形不肯定全等；\\\\(一个角、一条边对应相等）==①②


可见：要使两个三角形全等，应至少有 组元素对应相等。36选3边边边 (SSS)两边一角两角一边角角角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两角和夹边(ASA)两角和一角的对边(AAS)××


两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不肯定全等。\=\=SSA


可见：要使两个三角形全等，应至少有 组元素对应相等。36选3边边边 (SSS)两边一角两角一边角角角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两角和夹边(ASA)两角和一角的对边(AAS)××


三个角对应相等的两个三角形不肯定全等AAA


可见：要使两个三角形全等，应至少有 组元素对应相等。36选3边边边 (SSS)两边一角两角一边角角角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两角和夹边(ASA)两角和一角的对边(AAS)××


三角形全等的4个种判定公理： SSS（边边边）SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边） 有三边对应相等的两个三角形全等. 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 有两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.





例、如图，已知、如图，已知AB=ACAB=AC，，AD=AEAD=AE，，ABAB、、DCDC相交于点相交于点MM，，ACAC、、BEBE相交于点相交于点NN，∠，∠1=∠21=∠2，试，试说明：（说明：（11） △） △ABE ≌ △ACD ABE ≌ △ACD （（22））AM=ANAM=AN AN M EDCB12
例
制造条件！ ？
制造条件！ ？


一、挖掘“隐含条件”判全等1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由ADBC图（1）2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C= ,BE= .说说理由.BCODEA图（2）3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= . 说说理由. ADBCO图（3）20°5cm3cm学习提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！












；















，







C




A
B
件件
件
条条
条
∠
，
加加
加
分
D
添添
添
平
C
A
要要
要
D
△
A
需需
需
≌
””
”
知
D
S
SA
B
已
SA
A
A
SAA
，
△
“““
图
使
据据据
如
要；


依依 依；ABCDAB=AC∠BDA=∠CDA∠B=∠C友情提示：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.二.添条件判全等
、


4 •••


SAS ”为依据，还缺条件______；若要以“
ASA ”为依据，还缺条件 _______；若要以“
AAS ”为依据，还缺条件_______并说明理由。． AB=DE ∠ACB=∠F ∠A=∠DABCDEF
5、已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，现要证明△ABC≌△DEF，若要以“


∠，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？ADBCFE8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=ADC
∠，∠B=D∠，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ACEBD解答解答
∠。请用所学的知识给予说明。解答7.如图（5）∠CAE=BAD
三、娴熟转化“间接条件”判全等6如图，AE=CF，∠AFD=CEB


∠已知)DF=BE(已知)AF=CE(已证)(SAS)
△∠AFD=CEB(
6.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？解：∵AE=CF(已知)ADBCFE∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等)即AF=CE在△AFD和△CEB中， ∴△AFD≌CEB


∠，∠B=D∠，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ACEBD解：∵ ∠CAE=BAD
∠(已知)
∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+BAE∠ (等量减等量，差相等)即∠BAC=DAE
∠在△ABC和△ADE中， ∴△ABC
∠已知)(AAS)
∠已证)AC=AE(已知)∠B=D(
≌ADE△∠BAC=DAE(
7.如图（5）∠CAE=BAD


∠。请用所学的知识给予说明。解: 连接AC∴△ADCABC(SSS)
≌△∴ ∠ABC=ADC
∠(全等三角形的对应角相等)在△ABC和△ADC中， BC=DC(已知)AC=AC(公共边)AB=AD(已知)
8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他依据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=ADC


实际运用 9. 测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木Ａ，视线 ＡＢ与河岸垂直，然后该人沿河岸步行１０步（每步约0.75M）到O处，进行标记，再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度为 米。15ABODC


E
8
A10.如图, ΔABC与ΔDEF是否全等?为什么?
C
120'
20'
40'
F
8
40'
B
D


≌ΔBDMABMCD
(
)12证明: ∵ M是AB的中点 (已知) ∴ MA=MB(中点定义) 在ΔACM 和ΔBDM中， MA=MB(已证) ∠1 = ∠2 (已知) MC=MD(已知) ∴ΔACM ≌ ΔBDM (SAS)
11. 如图,M是AB的中点 ,∠1 = 2 ,MC=MD.试说明ΔACM


COBAMN





出



与找



M请


.

C




,
C



∠
上
.
=
C
B
由
A
∠

理
,
和
N
明
B
C

说
A
=

并
在
,
M
B
别
段
分
若
线

N,
的
O
、
等
点
M

相
,
于
部
图
交
全
如
相
.
中
N
2
1
B图





三
边
等
是
。
E
D
上
B
线
Δ
长

和
D
延
C
A

的
B
=

A
E
C
Δ
A
D

：
+
在
ABCDE分析：∵AD = AE + ED ∴只需证：BD + DC = AE + ED ∵BD = ED ∴只需证DC = AE即可。





知
D

D




B


已


点





：
、,





4证



形

1



求


角









15.如图 已知AB=AC，AD=AE， ∠１＝∠２， 试证明：△ABD≌ △ACEABCDE12


16.如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD，CD=CB，则图形中哪些角必定相等？请说明理由。BACD


17. 如图，CA=CB，AD=BD， M、N分别是CA、CB的 中点，则DM=DN， 说明理由。ACDBMN


18. 如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，试说明：BF∥CE ABCDEF


19.如图，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，　你能说明图中∠１＝∠２的理由吗？ＡＢＣＤ１２


20.如图，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ，说出△ABＤ≌ △ＣＤＢ的理由。ＡＢＣＤ


21.如图AB＝CD，AD＝BC，O为AD中点，过Ｏ点的直线分别交AD、BC于Ｍ、Ｎ，你能说明∠１＝∠２吗？１２ＤＡＢＣＯ


22如图AB＝AC，∠Ｂ＝∠Ｃ，点Ｄ、Ｅ在BC上，且BD＝ CE，那么图中又哪些三角形全等？说明理由。ＡＢＣＤＥ


感悟与反思：１、平行——角相等；２、对顶角——角相等；３、公共角——角相等；４、角平分线——角相等；５、垂直——角相等；６、中点——边相等；７、公共边——边相等；８、旋转——角相等，边相等。


一.挖掘“隐含条件”判全等二.添条件判全等三.转化“间接条件”判全等