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AB
•学习目标： 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题． 3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线， 了解作图的道理．•学习重点： 线段垂直平分线的性质． 课件说明
知识回顾•线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？•什么叫线段的垂直平分线？
你能用不同的方法验证这一结论吗？知识点一：线段垂直平分线的性质探究：如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． 相等． ABlP1P2P3
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”ABPCl
∠PCB= 90° ． 在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边）
∠PCA=PCB∠（已证） AC=BC（已知） ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB(全等三角形的对应边相等)．已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点与这条线段两个端点与这条线段两个端点的的距离相等距离相等．．
是线段AB的垂直平分
线∴PA =PB．ABPCl 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =
用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ 直线l
是线段AB的垂直平分
线∴PA =PB．
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．提示: 这个结论是常常用来证明两条线段相等的依据之一.用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ 直线l
小结：线段垂直平分线的性质：2、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等1、垂直线段，平分线段。
8课堂练习 练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于______．A B C D E
2、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，1) 若BD＝10，则AD= 。2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝ 。3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。1050°10
于点C 则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 PA =PB， PC =PC， 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？点P 在线段AB 的垂直平分线上． 知识点二：线段垂直平分线的判定
PAB C 已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．证明：如图作PC⊥AB
用几何语言表示为：PAB C 线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上．．∵ PA =PB，∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的全部点的集合．PAB C
小结：线段垂直平分线的判定方法：•1、定义法•2、与一条线段两个端点距离相与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平等的点，在这条线段的垂直平分线上．分线上．
解：∵ AD⊥BC，BD =DC， ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平 分线上， ∴ AC =CE．课堂练习 练习3 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E ∴ AB =AC =CE． ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
解：∵ AB =AC，∴ 点A 在BC 的垂直平分线．∵ MB =MC，∵ 点M 在BC 的垂直平分线上∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 平分线． 练习4 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？A B C D M
练习5、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。
，使点K与点C 在直线AB两旁.尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的垂线。（2）以点C为圆心，CK为半径作弧，交AB于点D和点E. （4）作直线CF，直线CF 就是所求作的垂线。CABKFDE已知：直线AB和AB外一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C.做法：12DE（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（1）任意取一点K
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对轴？
这种作法的依据是什么？ 知识点三：作线段的垂直平分线ABCD作法：12（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径 作弧，两弧相交于C，D 两点；（2）作直线CD． CD 就是所求作的直线． 这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中点．作已知线段的垂线。 线段垂直平分线的判定
AB，用直尺和圆规作
AB 的垂直平分线.AB⑴分别以点A
、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点； ⑵作直线CD . CD即为所求的直线.CCDD
1再一次巩固尺规作图结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
2
如图，已知线段
1.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴． AB作法：（1）找出五角星的一对对应点A和B，连接AB．（2）作出线段AB的垂直平分线n．则n就是这个五角星的一条对称轴． n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 【跟踪训练】
课堂练习 练习1 作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
课堂练习 练习2 如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂练习 练习3 如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．ABCD
性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的全部点的集合。课堂小结
分
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的
理
定
定
判
知与一位
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种
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性
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段
段线离定等质分．
线
线分距判相性平）
，平的的离的直分
理直点线距线垂平
定垂端分的分段直
逆段两平点．平线垂
互线段直端上直；（
是是线垂两线垂法系
者件条段段分段方关
二条这线线平线要置
•••
11、、∵∵ ，， ∴ ∴ABAB＝＝ACAC（ （ ______________________________________________ ）） 22、、∵ ∵ ______________________________________________ ， ， ∴ ∴ AA在线段在线段BCBC的中垂线上的中垂线上（ （ _____________________ ____________________________ _______ ））ADAD为为BCBC的中垂的中垂线线ABAB＝＝ACAC线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．段两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分的点，在这条线段的垂直平分线上。线上。BBCCAADD3、如图， NMNM是线段是线段ABAB的中的中垂线垂线,,下列说法正确的有下列说法正确的有： ： 。。①①AB⊥MN,②AD=DBAB⊥MN,②AD=DB， ， ③③MN⊥ABMN⊥AB， ， ④④MD=DNMD=DN，⑤，⑤ABAB是是MNMN的垂的垂直平分线直平分线ABMND①②③①②③
在⊿ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，并相交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上。知识应用PDEABC
∴点P在BC的垂直平分线上。（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）ABCPD证明：连结PB。∵ PD是AB的垂直平分线（已知） ∴ PA=PB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）∵ PA=PC（已知） ∴ PB=PC（等量代换）
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。求证：PA=PB=PC.PABC结论：结论：三角形三边的垂三角形三边的垂直平分线交于一点，并直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距且这点到三个顶点的距离相等。离相等。
高 速 公 路AB 在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L
· 某区政府为了便利居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学
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•学习目标： 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题． 3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线， 了解作图的道理．•学习重点： 线段垂直平分线的性质． 课件说明
知识回顾•线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？•什么叫线段的垂直平分线？
你能用不同的方法验证这一结论吗？知识点一：线段垂直平分线的性质探究：如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． 相等． ABlP1P2P3
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”ABPCl
∠PCB= 90° ． 在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边）
∠PCA=PCB∠（已证） AC=BC（已知） ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB(全等三角形的对应边相等)．已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点与这条线段两个端点与这条线段两个端点的的距离相等距离相等．．
是线段AB的垂直平分
线∴PA =PB．ABPCl 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =
用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ 直线l
是线段AB的垂直平分
线∴PA =PB．
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．提示: 这个结论是常常用来证明两条线段相等的依据之一.用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ 直线l
小结：线段垂直平分线的性质：2、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等1、垂直线段，平分线段。
8课堂练习 练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于______．A B C D E
2、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，1) 若BD＝10，则AD= 。2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝ 。3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。1050°10
于点C 则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 PA =PB， PC =PC， 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？点P 在线段AB 的垂直平分线上． 知识点二：线段垂直平分线的判定
PAB C 已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．证明：如图作PC⊥AB
用几何语言表示为：PAB C 线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上．．∵ PA =PB，∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的全部点的集合．PAB C
小结：线段垂直平分线的判定方法：•1、定义法•2、与一条线段两个端点距离相与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平等的点，在这条线段的垂直平分线上．分线上．
解：∵ AD⊥BC，BD =DC， ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平 分线上， ∴ AC =CE．课堂练习 练习3 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E ∴ AB =AC =CE． ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
解：∵ AB =AC，∴ 点A 在BC 的垂直平分线．∵ MB =MC，∵ 点M 在BC 的垂直平分线上∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 平分线． 练习4 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？A B C D M
练习5、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。
，使点K与点C 在直线AB两旁.尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的垂线。（2）以点C为圆心，CK为半径作弧，交AB于点D和点E. （4）作直线CF，直线CF 就是所求作的垂线。CABKFDE已知：直线AB和AB外一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C.做法：12DE（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（1）任意取一点K
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对轴？
这种作法的依据是什么？ 知识点三：作线段的垂直平分线ABCD作法：12（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径 作弧，两弧相交于C，D 两点；（2）作直线CD． CD 就是所求作的直线． 这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中点．作已知线段的垂线。 线段垂直平分线的判定
AB，用直尺和圆规作
AB 的垂直平分线.AB⑴分别以点A
、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点； ⑵作直线CD . CD即为所求的直线.CCDD
1再一次巩固尺规作图结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
2
如图，已知线段
1.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴． AB作法：（1）找出五角星的一对对应点A和B，连接AB．（2）作出线段AB的垂直平分线n．则n就是这个五角星的一条对称轴． n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 【跟踪训练】
课堂练习 练习1 作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
课堂练习 练习2 如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂练习 练习3 如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．ABCD
性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的全部点的集合。课堂小结
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知与一位
直与重
已点与垂的
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质分是在问证
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的直条个相用
线垂知这段可
平
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直
平论．的论决判
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直结等理结解的
垂，相定，是线
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段线离定等质分．
线
线分距判相性平）
，平的的离的直分
理直点线距线垂平
定垂端分的分段直
逆段两平点．平线垂
互线段直端上直；（
是是线垂两线垂法系
者件条段段分段方关
二条这线线平线要置
•••
11、、∵∵ ，， ∴ ∴ABAB＝＝ACAC（ （ ______________________________________________ ）） 22、、∵ ∵ ______________________________________________ ， ， ∴ ∴ AA在线段在线段BCBC的中垂线上的中垂线上（ （ _____________________ ____________________________ _______ ））ADAD为为BCBC的中垂的中垂线线ABAB＝＝ACAC线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．段两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分的点，在这条线段的垂直平分线上。线上。BBCCAADD3、如图， NMNM是线段是线段ABAB的中的中垂线垂线,,下列说法正确的有下列说法正确的有： ： 。。①①AB⊥MN,②AD=DBAB⊥MN,②AD=DB， ， ③③MN⊥ABMN⊥AB， ， ④④MD=DNMD=DN，⑤，⑤ABAB是是MNMN的垂的垂直平分线直平分线ABMND①②③①②③
在⊿ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，并相交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上。知识应用PDEABC
∴点P在BC的垂直平分线上。（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）ABCPD证明：连结PB。∵ PD是AB的垂直平分线（已知） ∴ PA=PB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）∵ PA=PC（已知） ∴ PB=PC（等量代换）
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。求证：PA=PB=PC.PABC结论：结论：三角形三边的垂三角形三边的垂直平分线交于一点，并直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距且这点到三个顶点的距离相等。离相等。
高 速 公 路AB 在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L
· 某区政府为了便利居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学
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