人教版八班级数学 上册13.1 轴对称 （第2课时）


探究并证明线段垂直平分线的性质　　如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．　　相等． ABlP1P2P3　　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．


　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．　　求证：PA =PB．探究并证明线段垂直平分线的性质　　命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”ABPCl


∠PCB= 90° ．　　在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边）
∠PCA=PCB∠（已证） AC=BC（已知）
　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　∴ PA =PB(全等三角形的对应边相等)．
探究并证明线段垂直平分线的性质用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．ABPCl　　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =


探究并证明线段垂直平分线的性质　　线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．提示:这个结论是常常用来证明两条线段相等的依据之一.


的中垂线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE
的周长等于______．A B C D E
8课堂练习　　练习1　如图，在△ABC 中，BC =8，AB


∴　AD 是BC 的垂直平分线，
∴　AB =AC．
∵　点C 在AE 的垂直平 分线上，
∴　AC =CE．课堂练习　　练习2　如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E
　∴　AB =AC =CE．
∵　AB =CE，BD =DC，
∴　AB +BD =CD +CE． 即　AB +BD =DE ．
　　解：∵　AD⊥BC，BD =DC，


例1、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，1) 若BD＝10，则AD= 。2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝ 。3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。1050°10


高 速 公 路AB 在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L


的垂直平分线上呢？　　点P 在线段AB 的垂直平分线上． 　　已知：如图，PA =PB．　　求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．PAB C
探究并证明线段垂直平分线的判定　　反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB


∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．PAB C
探究并证明线段垂直平分线的判定证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，∵　PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．又 PC⊥AB，


探究并证明线段垂直平分线的判定　　用数学符号表示为：∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上．　　与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PAB C


的垂直 平分线．课堂练习　　练习3　如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？A B C D M
解：∵　AB =AC，∴　点A 在BC 的垂直平分线．∵　MB =MC，∵　点M 在BC 的垂直平分线上，∴　直线AM 是线段BC


在ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，并相交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上。知识应用PDEABC
⊿


· 某区政府为了便利居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学


尺规作图　　如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线　　　的垂线？CABKFDE已知：直线AB和AB上一点C（如图）求作：AB的垂线，使它经过点C


问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？ 只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．


如何作出线段的垂直平分线？ 由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可．


AB，用直尺和圆规作
AB 的垂直平分线.AB⑴分别以点A
、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点； 　⑵作直线CD . CD即为所求的直线.CCDD
1尺规作图结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
2
如图，已知线段


1.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴． AB作法：（1）找出五角星的一对对应点A和B，连接AB．（2）作出线段AB的垂直平分线n．则n就是这个五角星的一条对称轴． n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 【跟踪训练】


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一距河段


B
A【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站.
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？


有A，B，C三个村庄，现筹备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.ABC【提示】学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.


1
2
a
2
21a2
1.（临沂·中考）正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ．【解析】运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即 .答案：


2.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长.DCBEA【解析】∵ED是线段AB的垂直平分线，∴∵ △BCD的周长=BD+DC+BC∴ △BCD的周长= = =BD=AD，AD+DC+BCAC+BC12+7=19.


随堂练习1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0.EDABC760


示，在ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，△
求BCN的周长。NMCBA
2、如图所△