13.1.2线段的垂直平分线的性质


本课说明 本节课内容属于“图形与几何” 领域，是在学习了轴对称的概念和性质的基础上，讨论线段垂直平分线的性质和判定．本节课还包括基本的尺规作图．是同学在学习了用尺规作一条线段等于已知线段、经过已知直线外一点作这条直线的垂线等尺规作图的基础上，用尺规作图的方法作线段的垂直平分线．


•学习目标：　1．理解线段垂直平分线的性质和判定．　2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题．　3．能用尺规作线段的垂直平分线．进一步了解作图 的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．　4．运用尺规作图的方法解决简洁的作图问题．学习说明


学习重点： 线段垂直平分线的性质．作线段的垂直平分线． 学习说明


　　你能用不同的方法验证这一结论吗？探究并证明线段垂直平分线的性质　　如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．　　相等． ABlP1P2P3


探究并证明线段垂直平分线的性质 请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？ 　　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．ABlP1P2P3


　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．　　求证：PA =PB．探究并证明线段垂直平分线的性质　　证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”ABPCl


探究并证明线段垂直平分线的性质用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．　　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB．　　又 AC =CB，PC =PC，　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．　　∴ PA =PB．ABPCl


探究并证明线段垂直平分线的性质　　线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．


探究并证明线段垂直平分线的判定　　反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？　　点P 在线段AB 的垂直平分线上． 　　已知：如图，PA =PB．　　求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．PAB C


探究并证明线段垂直平分线的判定证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，∵　PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．PAB C


探究并证明线段垂直平分线的判定　　用数学符号表示为：∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上．　　与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PAB C


　　这些点能组成什么几何图形？ 探究并证明线段垂直平分线的判定　　你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 　　在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的全部点的集合．PAB C


大家拿出圆规和直尺，依据教材中的作法一起来 做一做尺规作图　　例1 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？ CABDKFE


　　轴对称的性质是什么？　作线段的垂直平分线　　如何推断一条直线是否是线段的垂直平分线？　　　　说一说　线段垂直平分线的性质．　　　


　　不折叠图形，你能精准地作出轴对称图形的对称　　　轴吗？ 作线段的垂直平分线　　有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验　　　证呢？


（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．　　　　那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？　　　作线段的垂直平分线　　我们已能用尺规完成：　　　


作线段的垂直平分线　　例2　如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，　你能作出这条直线吗？ AB


　　这种作法的依据是什么？　　这种作图方法还有哪些作用？　　确定线段的中点． 作法：如图．（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径　 作弧，两弧相交于C，D 两点；（2）作直线CD． CD 就是所求作的直线． 12作线段的垂直平分线　　怎样作线段AB 的垂直平分线呢？　　　 ABCD


作轴对称图形的对称轴　　如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？　　　　　如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应　　　点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对　　应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．


作轴对称图形的对称轴　　如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.　


　　五角星的对称轴有什么特点？ 作轴对称图形的对称轴　　你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条　　对称轴？相交于一点．　　


　　解：∵　AD⊥BC，BD =DC， ∴　AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC． ∵　点C 在AE 的垂直平 分线上， ∴　AC =CE．课堂练习　　练习1　如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E


课堂练习　　练习1　如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E 　　解： ∴　AB =AC =CE． ∵　AB =CE，BD =DC， ∴　AB +BD =CD +CE． 即　AB +BD =DE ．


解：∵　AB =AC，∴　点A 在BC 的垂直平分线．∵　MB =MC，∵　点M 在BC 的垂直平分线上，∴　直线AM 是线段BC 的垂直 平分线．课堂练习　　练习2　如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？A B C D M


课堂练习　　练习3　作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？


课堂练习　　练习4　如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？


课堂练习　　练习5　如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．ABCD


（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？（3）如何推断一条直线是否是线段的垂直平分线？（4）作线段的垂直平分线的依据是什么？举例说明 这种作法有哪些运用？（5）如何用尺规作轴对称图形的对称轴？ 课堂小结