2.1.1《平面对量的物理背景及其含义》


教学目标 •了解向量的实际背景，理解平面对量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.•通过对向量的学习，使同学初步熟识现实生活中的向量和数量的本质区分.•通过同学对向量与数量的识别能力的训练，培育同学熟识客观事物的数学本质的能力.•教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.•教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区分和联系.


2.4.1 平面对量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面对量数量积的坐标表示、模、夹角


一般地，实数一般地，实数λλ与向量与向量aa 的的积积是一是一个个向向量量，记作，记作λλaa，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1) |(1) |λλaa|=||=|λλ| || |aa||(2) (2) 当当λ>0λ>0时时,,λλaa 的方向与的方向与aa方向相同；方向相同； 当当λ<0λ<0时时,,λλaa 的方向与的方向与aa方向相反方向相反； ； 特别地，当特别地，当λ=λ=00或或a=0a=0时时, , λa=0λa=0


①λλ((μμaa)=()=(λμλμ)) aa
①
②((λ+μλ+μ) ) a=a=λλa+a+μμaa
②
③λλ((a+ba+b)=)=λλa+a+λλbb
③
设设a,ba,b为任意向为任意向量，量，λ,μλ,μ为为任意实数任意实数，则有：，则有：


已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b.OAab


我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功动身，我们引入向量“数量积”的概念。


量
向
：
意
注
是
积
量
数
的
。
量
数
个
一
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。


向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？a·b=|a| |b| cosθ当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；当90°＜θ ≤180°时a·b为负。当θ =90°时a·b为零。




e同的、方向、，相单位向量b

的夹角，则、a、e

rrrr

(1)eaae|a|osc

abab=�|soc|||q
(2)abab0


(3)、a、b、、、、ab|a||b|;


a地aa外|、格|2a、b、、、、ab|a||b|;


2
a
、|a|aa



ab


(4)cos

(5)|aOa1Bb ABθ b||a||b|
|a||b|
设ba、是非零向量，


∴a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °



与
的长度||a


a等于b
ab在a方向上的投影
的乘积。
|b|cos
OABθ|b|cosθ abB1


，有a · b=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．3．若a ≠0，a
· b =0，则b=04．若a
· b=0，则a · b中至少有一个为0．5．若a≠0，a
· b= b · c，则a=c6．若a
· b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立．7．对任意向量 a 有22||aa√×××××√
练习：1．若a =0，则对任一向量b




(1)abba


(2()中，其a)b(ab)a(b)


(3()ab)cacbc


a三、是任意个向量，b、c
注：R


(ab)ca(bc)
平面对量的数量积的运算律：数量积的运算律：


则 (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3)


例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.


例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.


rr
rr
已知与|6,||4,|abab==
rr
rr
o
q的=夹角为解:,06
求（abab。+�-)23()
例4、


r
r
例||3,||4,5.已知当且kba==仅当为何值时，
rr
rr
向量kkabab与+-互相垂直？


作业：)(,2432,1||||1cbacabacbakbakbababa、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、


uuruur解：解：设 则 ，由此可得：
uuruur
ACCB�=0
ACCB^
uurruurr
AOaOCb==,
uurrruurrr
BACabCab=+=-,
uuruurrrrr
ACCBabab�=+�-
()()
rrrr
22
22
22
90°=-=即 =B ，∠ ACrr0
=-=+abab||||
ACCB0
3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙如图所示，已知⊙OO，，ABAB为直径，为直径，CC为⊙为⊙OO上任意一点。求证∠上任意一点。求证∠ACB=90°ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量 ，即 。