1．1　探索勾股定理第1课时　认识勾股定理1．探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力；2．理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．(重点、难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的初步认识【类型一】 直接利用勾股定理求长度 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．解析：先运用勾股定理求出AC的长，再根据S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，求出CD的长．解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42，∴AC＝4cm.又∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝(cm)，故CD的长是cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【类型二】 勾股定理与其他几何知识的综合运用


如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC于点E，在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．【类型三】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．探究点二：利用勾股定理求面积 如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________．解析：因为AE＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝×32＝；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为AB2＋AB2＝AB2＝×32＝.故填、.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．三、板书设计


特殊到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的
意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获
得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠久文化历史，激励
学生发奋学习．第2课时　
验证勾股定理1．利用
拼图的方法验证勾股定理；(重点)2．掌握勾股定理及其
简单应用．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入(1)如图，你能用两种方法表示大正方形的面积吗？(2)你能由此得到勾股定理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的
验证 作8个
全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做
三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a2＋b2＝c2.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.让学生体会数形结合和由


体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，
即可证明勾股定理．证明：由图易知，这两个正方形的边长
都是a＋b，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a2＋b2＋ab×4，右
边的正方形面积可表示为c2＋ab×4.∵a2＋b2＋ab×4＝c2＋ab×4，∴a2＋b2＝c2.方法总结：根据
拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验
证勾股定理．探究点二：勾股定理的
简单运用 如图，高
速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现
要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个
村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．解析：运用“两点之间线段
最短”先确定出P点在A1B1上的位置，再利用勾股定理求出AP＋BP的长．解：作点B关于MN的
对称点B′，连接AB′，交A1B1于P点，连BP.则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P点
即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10(km)．
即AP＋BP＝AB′＝10km，故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.方法总结：解这类题的关
键在于运用几何知识正确找到符合条件的P点的位置，会构造Rt△AB′E.三、板书设计勾股定理通过
拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，学会勾股定理的应用并
逐步培养学生应用数学解决实际问题的能力，为后面的学习打下基础
．1.1 探索勾股定理第2课时 验
证勾股定理第一
环节： 复习设疑，激趣引入
解析：从整


容：教师提出问题：（1）
勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）
上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了
勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何
验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这
节课我们也将去验证勾股定理. 意
图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行
验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数
百种验证方法，激发学生兴趣. 效
果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行
验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的
渴望.第二
环节：小组活动，拼图验证. 内
容： 活动1： 教师
导入，小组拼图.教师
：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备
的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分
钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.） 活动2：层层
设问，完成验证一.学生通过
自主探究，小组讨论得到两个图形： 图2在此基
础上教师提问：（1）
图1
如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立
思考，再4人小组交流）；（2）
你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书 22
内


222
a）从bc
而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主
探究，完成验证二.教师
小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系
整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（
学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二
）意
图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的
验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师
的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计
活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成
功的快乐.效
果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本
节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三
环节延伸拓展，能力提升1.议
一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c22.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度
比为3:4，求两直角边的长
。意
图：在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形_b_a_a_c_b_c
(a+b)2=4×21ab+c2.并得到


否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a,b,c不
满足a2+b2=c2。通过这个结论，学生
将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的
判别打下基础。第
四环节： 例题讲解 初步应用内
容：�