第1章 二次函数1.1 二次函数【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.【教学重点】二次函数的概念.【教学难点】在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入，初步认识1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x 2 +100x,(02 B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜β D.α＜1,β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴
的交点坐标为(1,0),(3,0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖
北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴
的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此
二次函数的解析式；（2）是否
5
存在过点D（0，-直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，
2）的
使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，
请说明理由.学生解答:【答
案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1,x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存
5
在 y=x-
2【教学说明】一元二次方程的根的情
况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相
互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生
互动，课堂小结1.这
节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答
基础上,教师点评:①求
二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛
物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图
象求“一元二次方程的近似根”；④二次函数问题可
转化为对应一元二次方程根与系数关系问题.1.教材P28第1~3题.2.完成同步
练习册中本课时的练习.通
过本节课的学习,让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取
A.x轴


特值时，把对应的自变量的值都联系起来了,这样对二次函数的综合应用就方
便得多了,从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.1.5 二次函数的应用第1课
时 二次函数的应用(1)【知识与技能】能够分析和表示不同
背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历运用二次函数解决实际问题的探究过程,进一步体验运用数学方法描述变量之间的依
赖关系,体会二次函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能
力.【情感态度】1.体验函数是有
效的描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行
交流的重要工具.2.敢
于面对在解决实际问题时碰到的困难,积累运用知识解决问题的成功经验.【教学重点】用
抛物线的知识解决拱桥类问题.【教学难点】将实际问题
转化为抛物线的知识来解决.一、情境导入，初步认识通
过预习P29页的内容，完成下面各题.1.要
求出教材P29动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况”，你准备采取什么
办法？2.根据教材P29图1-18，
你猜测是什么样的函数呢？3.怎
样建立直角坐标系比较简便呢？试着画一画它的草图看看！
某一


象你能求出函数的解析式吗？试一试！二、思考探究，获取新知探究 直观
图象的建模应用例1 某
工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大
门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一
盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是6m,如图
所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，精确
到0.1m)约为（ ）A.6.9m B.7.0m C.7.1m D.6.8m【分析】
因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题.先建立平面
直角坐标系,如图,设大门地面宽度为AB,两
壁灯之间的水平距离为CD,则B,D坐标分别为(4,0),(3,3),设抛
物线解析式为y=ax2+h.把
（3，3），（4，0）代入解析式求得h≈6.9.故选A.【教学说明】根据
直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.例2 小
红家门前有一座抛物线形拱桥,如图,当
水面在l时，拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m时，
水面宽度增加多少？【分析】
拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决.解:由题意建立如图的
直角坐标系,设抛物线的解析式y=ax2,∵抛
物线经过点A（2，-2），∴-2=4a,∴a=-
11
抛物线的解析式为y=-
2,即2x2,当
水面下降1m时，点B的纵坐标为-3.将y=-3代
1
入二次函数解析式，得y=-
2x2,得-3=-
1
6,∴此时水面宽度为2|x|=26m.即
2x2→x2=6→x=±
水面下降1m时，水面宽度增加了(2
6-4)m.【教学说明】用二次函数知识解决
拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标
系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.三、运用新知，深化理解
4.根据图


溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,溶洞顶点O到水
面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内，溶洞所在抛物线的函数关系式是（ ）A.y=
151512
4 x2 B.y=4x2+5C.y=-
151512
4x2 D.y=-4x2+52.某
公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起
见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这
条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A.50m B.100m C.160m D.200m 第2题图 第3题图3.如图，
济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强
骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当
小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁
部分的桥面OC共需 秒.4.(浙江金华
中考）如图，足球场上守门员在O处踢
出一高球，球从离地面1米处飞出（A在y轴上），运动
员乙在距O点6米的B处发现球在自己的正上方达到最高点M，
距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的
抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求
足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;(2)足
球第一次落地点C距守门员是多少米?(取4
3≈7,26≈5)(3)运动
员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？【教学说明】学生自
觉完成上述习题，加深对新知的理解，并适当加以分析提
示如第4题，由图象的类型及已知条件，设其解析式为y=a(x-6)2+4,过点A（0，1），可
求出a;（2）令y=0可求出x的值，x＜0舍去；（3）令y=0,求
1
出C点坐标（6+43,0),设抛物线CND为y=-入C点
12(x-k)2+2,代
1.某


可求出k值(k＞6+43).再令y=0可求出C、D的坐标，进而求出BD.【答
1
案】1.C 2.C 3.36 4.解:(1)y=-求C点到守门员
12(x-6)2+4(2)令y=0,可
约13米. (3)向前约跑17米.四、师生
互动，课堂小结1.这
节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的
基础上,教师点评.3.建立二次实际问题的一般步
骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把
已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据
求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.1.教材P31第1、2题.2.完成同步
练习册中本课时的练习.本节课
主要是利用二次函数解决生活中的实际问题,其主要思路是建立适当的
直角坐标系,使求出的二次函数模型更简捷,解决问题更方便,让学生学会运用所
学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.第2课
时 二次函数的应用(2)【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使
学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用
抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历
优化问题的探究过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展
的作用,发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类
社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好
数学的信心.【教学重点】
坐标


求出实际问题的最值.【教学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用，
激发学生的学习兴趣.一、情境导入，初步认识问题1 同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3①x= 时，y有最 值，其值为 ；②当-1≤x≤4时，y最
小值为 ，y最大值为 .答
案:①1,小，-4；②-4，5【教学说明】解决上述问题
既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理
论依据.二、思考探究，获取新知教学点1 最
大面积问题阅读
教材P30动脑筋，回答下列问题.1.若
设窗框的宽为xm，则窗框的高为 m,x的取值范围是 .2.窗框
的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式
求出最大面积？答
83- 0案：1.
23 2.S=-
38
2x2+4x,08
3m2.例1 如图，
从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点
剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使
剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么
？解：
设矩形纸较短边长为a,设DE=x，则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-
-21a1
=a
小值=2×（
222�时，y最2a）2-
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识


11
2a+a2=2a2 即点E选