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1.6 利用三角函数测高基础题知识点1 测量底部可以到达的物体的高度1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(C)A.米 B.30sinα米C.30tanα米 D.30cosα米2.如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平距离BD＝10m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为(C)A.5 m B.6 mC.7 m D.8 m3.如图，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是(A)A.(6＋6)米B.(6＋3)米C.(6＋2)米D.12米4.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12 m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6 m，求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28).解：过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝FC＝12 m，在Rt△AEH中，AH＝EH·tan∠AEH＝12×1.28＝15.36(m).∵∠BEH＝45°，∴BH＝EH＝12 m.∴AB＝AH－BH＝3.36≈3.4 m.答：旗杆AB的高度约为3.4 m.知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度5.如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝(21 ＋ 7)m.6.如图所示，河对岸有古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔走s米到达D，在D处第 1 页
测得塔顶A的仰角为β，则塔高是米.7.盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224米到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度AB(取1.73，结果精确到0.1米).解：设AG＝x.在Rt△AFG中，∵tan∠AFG＝，∴FG＝＝.在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x.∴x－＝224.解得x≈193.8.∴AB＝193.8＋1.5＝195.3(米).答：电视塔的高度AB约为195.3米.中档题8.(2019·吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度.数学活动方案活动时间：2018年4月2日 活动地点：学校操场 填表人：林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题方案示意图测量步骤(1)用测角仪测得∠ADE＝α；(2)用皮尺测得BC＝a米，CD＝b米.计算过程解：计算过程：∠ADE＝α，DE＝BC＝a，BE＝CD＝b.在Rt△ADE中，∠AED＝90°.∵tan∠ADE＝，第 2 页
∴AE＝DE·tan∠ADE.∴AE＝atanα.∴AB＝AE＋BE＝(b＋atanα)米.9.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5 m，看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距30米且位于旗杆两侧(点B，N，D在同一条直线上)，求旗杆MN的高度(参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数).解：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点C作CF⊥MN，垂足为F.设ME＝x，Rt△AME中，∠MAE＝45°，∴AE＝ME＝x.Rt△MCF中，MF＝x＋0.2，CF＝＝(x＋0.2)，∵BD＝AE＋CF，∴x＋(x＋0.2)＝30.∴x≈11，即AE＝11.∴MN＝11＋1.7≈13.答：旗杆MN的高度约为13米.综合题10.九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；(2)如图2，第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度；(3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1米，参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，≈1.732，≈1.414).解：(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB.∴α＝2∠CDB＝2×38°＝76°.(2)设EF的中点为M，过点M作MN⊥BF，垂足为N，过点E作EH⊥BF，垂足为H，∴MNEH.第 3 页
又∵MN＝1.9，∴EH＝2MN＝3.8.答：E点离地面FB的高度是3.8米.(3)延长AE交PB于点K.设AE＝x，则AK＝x＋3.8.∵∠APB＝45°，∴PK＝AK＝x＋3.8.∵PQ＝4，∴KQ＝x＋3.8－4＝x－0.2.∵tan∠AQK＝＝tan60°＝，∴＝.解得x＝≈5.7.答：旗杆AE的高度约为5.7米.第 4 页
测得塔顶A的仰角为β，则塔高是米.7.盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224米到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度AB(取1.73，结果精确到0.1米).解：设AG＝x.在Rt△AFG中，∵tan∠AFG＝，∴FG＝＝.在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x.∴x－＝224.解得x≈193.8.∴AB＝193.8＋1.5＝195.3(米).答：电视塔的高度AB约为195.3米.中档题8.(2019·吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度.数学活动方案活动时间：2018年4月2日 活动地点：学校操场 填表人：林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题方案示意图测量步骤(1)用测角仪测得∠ADE＝α；(2)用皮尺测得BC＝a米，CD＝b米.计算过程解：计算过程：∠ADE＝α，DE＝BC＝a，BE＝CD＝b.在Rt△ADE中，∠AED＝90°.∵tan∠ADE＝，第 2 页
∴AE＝DE·tan∠ADE.∴AE＝atanα.∴AB＝AE＋BE＝(b＋atanα)米.9.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5 m，看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距30米且位于旗杆两侧(点B，N，D在同一条直线上)，求旗杆MN的高度(参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数).解：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点C作CF⊥MN，垂足为F.设ME＝x，Rt△AME中，∠MAE＝45°，∴AE＝ME＝x.Rt△MCF中，MF＝x＋0.2，CF＝＝(x＋0.2)，∵BD＝AE＋CF，∴x＋(x＋0.2)＝30.∴x≈11，即AE＝11.∴MN＝11＋1.7≈13.答：旗杆MN的高度约为13米.综合题10.九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；(2)如图2，第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度；(3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1米，参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，≈1.732，≈1.414).解：(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB.∴α＝2∠CDB＝2×38°＝76°.(2)设EF的中点为M，过点M作MN⊥BF，垂足为N，过点E作EH⊥BF，垂足为H，∴MNEH.第 3 页
又∵MN＝1.9，∴EH＝2MN＝3.8.答：E点离地面FB的高度是3.8米.(3)延长AE交PB于点K.设AE＝x，则AK＝x＋3.8.∵∠APB＝45°，∴PK＝AK＝x＋3.8.∵PQ＝4，∴KQ＝x＋3.8－4＝x－0.2.∵tan∠AQK＝＝tan60°＝，∴＝.解得x＝≈5.7.答：旗杆AE的高度约为5.7米.第 4 页
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