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2.2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y＝ax2的图象与性质基础题 知识点1 二次函数y＝ax2的图象1.抛物线y＝－x2的图象一定经过(B)A.第一、二象限 B.第三、四象限C.第一、三象限 D.第二、四象限2.如图，函数y＝－2x2的图象是(C)A.① B.②C.③ D.④3.二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0 ， 0).4.下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是( － 1 ，－ 2) .5.抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是a ＞ b ＞ c.6.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象.①y＝2x2；②y＝x2.解：列表：x－2－1012y＝2x282028y＝x2202描点、连线可得图象如图.知识点2 二次函数y＝ax2的性质7.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是(B) A.开口向上 B.对称轴是y轴C.都有最高点 D.y随x的增大而增大8.已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)A.y1>0>y2 B.y2>0>y1C.y1>y2>0 D.y2>y1>09.已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的取值范围是(A)A.m＜－1 B.m＜1C.m＞－1 D.m＞－210.(2019·广州)已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”).第 1 页
11.已知抛物线y＝ax2经过点(1，3).(1)求a的值；(2)当x＝3时，求y的值；(3)说出此二次函数的三条性质.解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a·1＝3.∴a＝3.(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点；当x＝0时，y有最小值，最小值是0等.易错点 求区间内最值时忽视对称轴位置12.当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是4，最小值是0.中档题13.(教材P34习题T2变式)若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A)A.(2，4) B.(－2，－4)C.(2，－4) D.(4，－2)14.已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则(A)A.y10).(2)S＝x2(x>0)，S是x的二次函数.(3)点P的坐标为(2，4).(4)∵OP′＝P′A，∴P′在OA的垂直平分线上.∴P′的横坐标为.当x＝时，y＝x2＝.∴点P′的坐标为(，).第 3 页
第2课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质基础题知识点1 二次函数y＝ax2＋c的图象1.(教材P36习题T1变式)抛物线y＝－4x2＋1与y＝－4x2的图象的不同之处在于(C)A.对称轴 B.开口方向C.顶点 D.形状2.若抛物线y＝(k－7)x2－5的开口向下，则k的取值范围是(A)A.k7 C.k03.抛物线y＝2x2－3的顶点在(D)A.第一象限 B.第二象限C.x轴上 D.y轴上4.抛物线y＝x2＋1的图象大致是(C)5.(2019·淮安)将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是y ＝ x 2 ＋ 2.6.在同一平面直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象.(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？解：如图所示：(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1).(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到.知识点2 二次函数y＝ax2＋c的性质7.关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中正确的是(B)A.它的开口方向是向上B.当x＜－1时，y随x的增大而增大C.它的顶点坐标是(－2，3)D.当x＝0时，y有最小值38.已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(D)A.若y1＝y2，则x1＝x2B.若x1＝－x2，则y1＝－y2第 4 页
C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2D.若x1＜x2＜0，则y1＞y29.二次函数y＝ax2－2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大.解：(1)∵点P(1，m)在y＝2x－1的图象上，∴m＝2×1－1＝1.∴P(1，1).又∵P(1，1)在y＝ax2－2的图象上，∴1＝a－2.∴a＝3.(2)y＝3x2－2，当x＞0时，y随x的增大而增大.中档题10.一次函数y＝ax＋b(a≠0，b≠0)的图象如图所示，则二次函数y＝bx2＋a的大致图象是(C)11.已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2＋1的图象上，则(C)A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y312.(2019·泸州)已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是(C)A.3 B.4C.5 D.613.已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x＝x1＋x2时，函数值为c.14.若抛物线y＝ax2＋k(a≠0)与y＝－2x2＋4关于x轴对称，则a＝2，k＝－ 4.15.把二次函数y＝－x2的图象向上平移2个单位长度.(1)求新图象的表达式、顶点坐标和对称轴；(2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.解：(1)y＝－x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴.(2)略.(3)x＝0时，y有最大值，最大值为2.16.已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1).第 5 页
我国古老的文化遗产，如图是一座抛物线形廊桥的示意图.已知抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为
保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警
示灯，求这两盏灯的水平距离(参考数据：≈2.24，结果精确到1米).解：由题意得：点E，F的
纵坐标为8.把y＝8代入y＝－x2＋10，得－x2＋10＝8，解得x＝4或x＝－4.EF＝|4－(－4)|＝8≈18(米).答：
这两盏灯的水平距离约为18米.第 6 页
(1)求m的值；(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？解：(1)由题意，得∴m＝－1.(2)当m＝－1时，抛物线的表达式为y＝－2x2＋1，其顶点坐标为(0，1)，对称轴为y轴.(3)因为抛物线y＝－2x2＋1的开口向下，所以在对称轴的左侧，即当x<0时，y随x的增大而增大.综合题17.廊桥是
述正确的是(D)A.当x＞0时，y随x的增大而减小B.当x＜0时，y随x的增大而增大C.当x＞－4时，y随x的增大而减少D.当x＜－4时，y随x的增大而减少3.将二次函数y＝2x2的图象向
右平移2个单位长度，得到的新二次函数的表达式是(B)A.y＝2(x＋2)2 B.y＝2(x－2)2C.y＝2x2＋2 D.y＝2x2－24.在平面直角坐标系中，二次函数y＝2(x－1)2的图象可能是(D) A B C D5.(2019·衡
阳)已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“＝”).6.先
列表，然后在同一平面直角坐标系内分别描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴与顶点坐标.①y＝－(x＋2)2；②y＝－(x－1)2.解：如图所示：抛物线y＝－(x＋2)2的对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)；抛物线y＝－(x－1)2的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，0).知识点2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质7.(2019·宿迁)将抛物线y＝x2向
右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是(C)A.y＝(x＋2)2＋1 B.y＝(x＋2)2－1C.y＝(x－2)2＋1 D.y＝(x－2)2－18.已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：
①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；
③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小.其中正确的说法有(A)第 7 页
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质基础题 知识点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质1.抛物线y＝－(x－3)2的顶点坐标是(D)A.(0，－3) B.(－3，0) C.(0，3) D.(3，0)2.下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描
满足下列条件的二次函数表达式：①函数的开口大小及顶点坐标不同；②函数图象
只经过第三、四象限.如：y ＝－ 2(x － 3) 2 － 1 ， y ＝－ 3(x － 3) 2 － 2( 答案不唯一 ).易错点1 二次函数增减性相关的易错11.已知二次函数y＝2(x－h)2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的值
满足h≤3.易错点2 将图象平移与坐标轴平移
混淆12.在平面直角坐标系中，若抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向
右平移1个单位长度，则在新的平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y ＝ 3(x ＋ 1) 2 － 1.中档题13.若抛物线y＝(x－m)
11.已知抛物线y＝ax2经过点(1，3).(1)求a的值；(2)当x＝3时，求y的值；(3)说出此二次函数的三条性质.解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a·1＝3.∴a＝3.(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点；当x＝0时，y有最小值，最小值是0等.易错点 求区间内最值时忽视对称轴位置12.当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是4，最小值是0.中档题13.(教材P34习题T2变式)若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A)A.(2，4) B.(－2，－4)C.(2，－4) D.(4，－2)14.已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则(A)A.y10).(2)S＝x2(x>0)，S是x的二次函数.(3)点P的坐标为(2，4).(4)∵OP′＝P′A，∴P′在OA的垂直平分线上.∴P′的横坐标为.当x＝时，y＝x2＝.∴点P′的坐标为(，).第 3 页
第2课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质基础题知识点1 二次函数y＝ax2＋c的图象1.(教材P36习题T1变式)抛物线y＝－4x2＋1与y＝－4x2的图象的不同之处在于(C)A.对称轴 B.开口方向C.顶点 D.形状2.若抛物线y＝(k－7)x2－5的开口向下，则k的取值范围是(A)A.k7 C.k03.抛物线y＝2x2－3的顶点在(D)A.第一象限 B.第二象限C.x轴上 D.y轴上4.抛物线y＝x2＋1的图象大致是(C)5.(2019·淮安)将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是y ＝ x 2 ＋ 2.6.在同一平面直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象.(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？解：如图所示：(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1).(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到.知识点2 二次函数y＝ax2＋c的性质7.关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中正确的是(B)A.它的开口方向是向上B.当x＜－1时，y随x的增大而增大C.它的顶点坐标是(－2，3)D.当x＝0时，y有最小值38.已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(D)A.若y1＝y2，则x1＝x2B.若x1＝－x2，则y1＝－y2第 4 页
C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2D.若x1＜x2＜0，则y1＞y29.二次函数y＝ax2－2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大.解：(1)∵点P(1，m)在y＝2x－1的图象上，∴m＝2×1－1＝1.∴P(1，1).又∵P(1，1)在y＝ax2－2的图象上，∴1＝a－2.∴a＝3.(2)y＝3x2－2，当x＞0时，y随x的增大而增大.中档题10.一次函数y＝ax＋b(a≠0，b≠0)的图象如图所示，则二次函数y＝bx2＋a的大致图象是(C)11.已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2＋1的图象上，则(C)A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y312.(2019·泸州)已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是(C)A.3 B.4C.5 D.613.已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x＝x1＋x2时，函数值为c.14.若抛物线y＝ax2＋k(a≠0)与y＝－2x2＋4关于x轴对称，则a＝2，k＝－ 4.15.把二次函数y＝－x2的图象向上平移2个单位长度.(1)求新图象的表达式、顶点坐标和对称轴；(2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.解：(1)y＝－x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴.(2)略.(3)x＝0时，y有最大值，最大值为2.16.已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1).第 5 页
我国古老的文化遗产，如图是一座抛物线形廊桥的示意图.已知抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为
保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警
示灯，求这两盏灯的水平距离(参考数据：≈2.24，结果精确到1米).解：由题意得：点E，F的
纵坐标为8.把y＝8代入y＝－x2＋10，得－x2＋10＝8，解得x＝4或x＝－4.EF＝|4－(－4)|＝8≈18(米).答：
这两盏灯的水平距离约为18米.第 6 页
(1)求m的值；(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？解：(1)由题意，得∴m＝－1.(2)当m＝－1时，抛物线的表达式为y＝－2x2＋1，其顶点坐标为(0，1)，对称轴为y轴.(3)因为抛物线y＝－2x2＋1的开口向下，所以在对称轴的左侧，即当x<0时，y随x的增大而增大.综合题17.廊桥是
述正确的是(D)A.当x＞0时，y随x的增大而减小B.当x＜0时，y随x的增大而增大C.当x＞－4时，y随x的增大而减少D.当x＜－4时，y随x的增大而减少3.将二次函数y＝2x2的图象向
右平移2个单位长度，得到的新二次函数的表达式是(B)A.y＝2(x＋2)2 B.y＝2(x－2)2C.y＝2x2＋2 D.y＝2x2－24.在平面直角坐标系中，二次函数y＝2(x－1)2的图象可能是(D) A B C D5.(2019·衡
阳)已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“＝”).6.先
列表，然后在同一平面直角坐标系内分别描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴与顶点坐标.①y＝－(x＋2)2；②y＝－(x－1)2.解：如图所示：抛物线y＝－(x＋2)2的对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)；抛物线y＝－(x－1)2的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，0).知识点2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质7.(2019·宿迁)将抛物线y＝x2向
右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是(C)A.y＝(x＋2)2＋1 B.y＝(x＋2)2－1C.y＝(x－2)2＋1 D.y＝(x－2)2－18.已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：
①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；
③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小.其中正确的说法有(A)第 7 页
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质基础题 知识点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质1.抛物线y＝－(x－3)2的顶点坐标是(D)A.(0，－3) B.(－3，0) C.(0，3) D.(3，0)2.下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描
满足下列条件的二次函数表达式：①函数的开口大小及顶点坐标不同；②函数图象
只经过第三、四象限.如：y ＝－ 2(x － 3) 2 － 1 ， y ＝－ 3(x － 3) 2 － 2( 答案不唯一 ).易错点1 二次函数增减性相关的易错11.已知二次函数y＝2(x－h)2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的值
满足h≤3.易错点2 将图象平移与坐标轴平移
混淆12.在平面直角坐标系中，若抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向
右平移1个单位长度，则在新的平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y ＝ 3(x ＋ 1) 2 － 1.中档题13.若抛物线y＝(x－m)
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