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*3.3 垂径定理基础题 知识点1 垂径定理1.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(A)A.5 B.7 C.9 D.112.(2019·阿坝)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是(A)A.2 B.3 C.4 D.53.如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP的值是(C)A. B.C. D.4.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是(B)A.CE＝DE B.AE＝OEC.BC＝BD D.△OCE≌△ODE5.(2019·大连)如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为5cm.6.(2019·长沙)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5.知识点2 垂径定理的推论7.如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D)A.8 B.10C.12 D.16知识点3 垂径定理的应用8.(2019·金华)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(C)A.10 cm B.16 cmC.24 cm D.26 cm9.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为0.8m.10.(教材P76练习T1变式)如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓第 1 页
形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB所在⊙O的半径r.解：∵弓形的跨度AB＝3 m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB.∴AF＝AB＝ m.∵AB所在⊙O的半径为r，弓形的高EF＝1 m，∴AO＝r，OF＝r－1.在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2，即r2＝()2＋(r－1)2.解得r＝.故r＝ m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”11.下列说法正确的是(D)A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C.过弦的中点的直径垂直于弦D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题12.已知⊙O的半径OA＝10 cm，弦AB＝16 cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短距离为(B)A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm13.(2019·呼和浩特)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为(B)A.26π B.13πC. D.14.(2019·阿坝)如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(D)A.2 cm B. cm C.2 cm D.2 cm15.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为25cm. 图1 图2第 2 页
16.(2019·孝感)已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是2 或 14cm17.(教材P77习题T3变式)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图).(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.解：(1)证明：过点O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OA.∵OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8.∴AC＝AE－CE＝8－2.综合题18.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？解：(1)连接OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点.∵AB＝7.2 m，∴BD＝AB＝3.6 m.设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M，N(N在M的右边)，连接ON，连接MN，交CO于第 3 页
点E.∵CD＝2.4 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m).∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m).在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96(m2)，∴EN＝(m)，MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3 m.∴此货船能顺利通过这座拱桥.第 4 页
形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB所在⊙O的半径r.解：∵弓形的跨度AB＝3 m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB.∴AF＝AB＝ m.∵AB所在⊙O的半径为r，弓形的高EF＝1 m，∴AO＝r，OF＝r－1.在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2，即r2＝()2＋(r－1)2.解得r＝.故r＝ m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”11.下列说法正确的是(D)A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C.过弦的中点的直径垂直于弦D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题12.已知⊙O的半径OA＝10 cm，弦AB＝16 cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短距离为(B)A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm13.(2019·呼和浩特)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为(B)A.26π B.13πC. D.14.(2019·阿坝)如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(D)A.2 cm B. cm C.2 cm D.2 cm15.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为25cm. 图1 图2第 2 页
16.(2019·孝感)已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是2 或 14cm17.(教材P77习题T3变式)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图).(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.解：(1)证明：过点O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OA.∵OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8.∴AC＝AE－CE＝8－2.综合题18.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？解：(1)连接OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点.∵AB＝7.2 m，∴BD＝AB＝3.6 m.设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M，N(N在M的右边)，连接ON，连接MN，交CO于第 3 页
点E.∵CD＝2.4 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m).∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m).在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96(m2)，∴EN＝(m)，MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3 m.∴此货船能顺利通过这座拱桥.第 4 页
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