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3.6 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质基础题 知识点1 直线和圆的位置关系1.下图中直线l是⊙O的切线的图形是(C)2.已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C)A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定3.已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是(D)A.相离 B.相切C.相交 D.相切或相交4.在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(C)A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离5.已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为d，(1)当直线l与⊙O相离时，d的取值范围是d ＞ 3；(2)当直线l与⊙O相切时，d ＝ 3；(3)当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是0≤d ＜ 3.6.(教材P90例1变式)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB有何种位置关系？请说明理由.解：⊙O与直线AB相交.理由：过点C作CD⊥AB于点D.∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，∴AB＝＝5 cm.∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴3×4＝5CD.∴CD＝2.4＜2.5，即d＜r.∴⊙C与直线AB的位置关系是相交.知识点2 切线的性质7.(2019·吉林)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为(D)第 1 页
A.5 B.6 C.7 D.88.(2019·湘潭)如图，AB是⊙O的切线，点B为切点.若∠A＝30°，则∠AOB＝60°.9.如图，两同心圆的大圆半径长为5 cm，小圆半径长为3 cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是8__cm.10.(2019·丽水改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.求证：∠A＝∠ADE.证明：连接OD.∵DE是切线，∴∠ODE＝90°.∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.∴∠A＝∠ADE.易错点 OP与直线l的位置关系未考虑全面而漏解11.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.中档题12.(2019·长春)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为(B)A.29° B.32°C.42° D.58°13.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(B)A.1 B.1或5C.3 D.514.(2019·泸州)在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为(D)A.3 B.2 C. D.15.如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：第 2 页
(1)当d＝3时，m＝1；(2)当m＝2时，d的取值范围是1 ＜ d ＜ 3.16.(2019·河南)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长.解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠BDC＝90°.∵BF切⊙O于B，∴AB⊥BF.∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC.∴∠ACB＝∠FCB.∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD＝BF.(2)∵AB＝10，AB＝AC，CD＝4，∴AD＝AC－CD＝10－4＝6.在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD＝＝8，在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC＝＝4.综合题17.(2019·随州)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC，CN于点D，M两点.(1)求证：MD＝MC; (2)⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长.解：(1)证明：连接OC.∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM.∴∠OCA＋∠ACM＝90°.∵OM⊥AB，∴∠OAC＋∠ODA＝90°.第 3 页
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM.∴MD＝MC.(2)由题意可知：AB＝5×2＝10，AC＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴BC＝＝2.∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A.∴△AOD∽△ACB.∴＝，即＝.∴OD＝2.5.设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：(x＋2.5)2＝x2＋52，解得x＝.∴MC＝.第 4 页
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆基础题 知识点1 切线的判定1.下列说法中，正确的是(D)A.AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线2.如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是(D)A.AB＝4，AT＝3，BT＝5 B.∠B＝45°，AB＝ATC.∠B＝55°，∠TAC＝55° D.∠ATC＝∠B3.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为∠ ABC ＝ 90° 或 AB⊥BC.4.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为相切 .5.(2019·邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线.证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBC＝∠OCB.∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.又∵点C为⊙O上一点，∴CD为⊙O的切线.知识点2 三角形的内切圆6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点第 5 页
D.三条高的交点7.如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆的半径是(B)A. B.1C.2 D.8.(2019·湖州)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°.易错点1 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解9.如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为(1 ， 1) 或 (3 ， 1) 或 (2 ， 0) 或 (2 ， 2).易错点2 内心与外心概念混淆不清10.(教材P93习题T2变式)如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为115°.中档题11.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C)A.点(0，3) B.点(2，3)C.点(5，1) D.点(6，1)12.(2019·威海)如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°.13.(2019·益阳)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长.解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OA＝OC，∠BCD＝∠A.∴∠ACO＝∠A＝∠BCD.∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°.又∵OC为⊙O的半径，第 6 页
∴CD是⊙O的切线.(2)在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，∴OD＝＝5.∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.14.(2019·黄石)如图，已知A，B，C，D，E是⊙O上五点，⊙O的直径BE＝2，∠BCD＝120°，A为BE的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE.(1)求线段BD的长；(2)求证：直线PE是⊙O的切线.解：(1)连接DE.∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°.∵B，C，D，E四点共圆，∴∠BCD＋∠BED＝180°.又∵∠BCD＝120°，∴∠BED＝60°.∴BD＝BE·sin60°＝2×＝3.(2)证明：连接AE.∵BE为⊙O的直径，∴BA⊥AE.∵点A为弧BE的中点，AB＝AP，∴BA＝AE＝AP.∴△BAE，△PAE为等腰直角三角形.∴∠AEB＝∠AEP＝45°.∴∠BEP＝90°，即PE⊥BE.又∵OE是⊙O的半径，∴直线PE是⊙O的切线.综合题15.如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得 ED＝EA.(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OE＝10时，求BC的长.第 7 页
解：(1)证明：连接OD.∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°.在△AOE和△DOE中，∴△AOE≌△DOE(SSS).∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED.又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线.(2)∵AB是直径.∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵由(1)知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO＝∠DEO.又∵AE＝DE，∴OE⊥AD.∴OE∥BC.∴△AOE∽△ABC.∴＝＝.∴BC＝2OE＝20，即BC的长是20.第 8 页
A.5 B.6 C.7 D.88.(2019·湘潭)如图，AB是⊙O的切线，点B为切点.若∠A＝30°，则∠AOB＝60°.9.如图，两同心圆的大圆半径长为5 cm，小圆半径长为3 cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是8__cm.10.(2019·丽水改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.求证：∠A＝∠ADE.证明：连接OD.∵DE是切线，∴∠ODE＝90°.∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.∴∠A＝∠ADE.易错点 OP与直线l的位置关系未考虑全面而漏解11.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.中档题12.(2019·长春)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为(B)A.29° B.32°C.42° D.58°13.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(B)A.1 B.1或5C.3 D.514.(2019·泸州)在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为(D)A.3 B.2 C. D.15.如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：第 2 页
(1)当d＝3时，m＝1；(2)当m＝2时，d的取值范围是1 ＜ d ＜ 3.16.(2019·河南)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长.解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠BDC＝90°.∵BF切⊙O于B，∴AB⊥BF.∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC.∴∠ACB＝∠FCB.∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD＝BF.(2)∵AB＝10，AB＝AC，CD＝4，∴AD＝AC－CD＝10－4＝6.在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD＝＝8，在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC＝＝4.综合题17.(2019·随州)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC，CN于点D，M两点.(1)求证：MD＝MC; (2)⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长.解：(1)证明：连接OC.∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM.∴∠OCA＋∠ACM＝90°.∵OM⊥AB，∴∠OAC＋∠ODA＝90°.第 3 页
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM.∴MD＝MC.(2)由题意可知：AB＝5×2＝10，AC＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴BC＝＝2.∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A.∴△AOD∽△ACB.∴＝，即＝.∴OD＝2.5.设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：(x＋2.5)2＝x2＋52，解得x＝.∴MC＝.第 4 页
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆基础题 知识点1 切线的判定1.下列说法中，正确的是(D)A.AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线2.如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是(D)A.AB＝4，AT＝3，BT＝5 B.∠B＝45°，AB＝ATC.∠B＝55°，∠TAC＝55° D.∠ATC＝∠B3.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为∠ ABC ＝ 90° 或 AB⊥BC.4.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为相切 .5.(2019·邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线.证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBC＝∠OCB.∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.又∵点C为⊙O上一点，∴CD为⊙O的切线.知识点2 三角形的内切圆6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点第 5 页
D.三条高的交点7.如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆的半径是(B)A. B.1C.2 D.8.(2019·湖州)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°.易错点1 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解9.如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为(1 ， 1) 或 (3 ， 1) 或 (2 ， 0) 或 (2 ， 2).易错点2 内心与外心概念混淆不清10.(教材P93习题T2变式)如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为115°.中档题11.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C)A.点(0，3) B.点(2，3)C.点(5，1) D.点(6，1)12.(2019·威海)如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°.13.(2019·益阳)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长.解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OA＝OC，∠BCD＝∠A.∴∠ACO＝∠A＝∠BCD.∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°.又∵OC为⊙O的半径，第 6 页
∴CD是⊙O的切线.(2)在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，∴OD＝＝5.∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.14.(2019·黄石)如图，已知A，B，C，D，E是⊙O上五点，⊙O的直径BE＝2，∠BCD＝120°，A为BE的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE.(1)求线段BD的长；(2)求证：直线PE是⊙O的切线.解：(1)连接DE.∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°.∵B，C，D，E四点共圆，∴∠BCD＋∠BED＝180°.又∵∠BCD＝120°，∴∠BED＝60°.∴BD＝BE·sin60°＝2×＝3.(2)证明：连接AE.∵BE为⊙O的直径，∴BA⊥AE.∵点A为弧BE的中点，AB＝AP，∴BA＝AE＝AP.∴△BAE，△PAE为等腰直角三角形.∴∠AEB＝∠AEP＝45°.∴∠BEP＝90°，即PE⊥BE.又∵OE是⊙O的半径，∴直线PE是⊙O的切线.综合题15.如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得 ED＝EA.(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OE＝10时，求BC的长.第 7 页
解：(1)证明：连接OD.∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°.在△AOE和△DOE中，∴△AOE≌△DOE(SSS).∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED.又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线.(2)∵AB是直径.∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵由(1)知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO＝∠DEO.又∵AE＝DE，∴OE⊥AD.∴OE∥BC.∴△AOE∽△ABC.∴＝＝.∴BC＝2OE＝20，即BC的长是20.第 8 页
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