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*3.7 切线长定理基础题 知识点 切线长定理1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(B)A.4 B.8 C.4 D.82.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)A. B. C.2 D.33.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为(C)A.60° B.90° C.120° D.无法确定4.一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60°，那么OP＝(A)A.50 cm B.25 cmC. cm D.50 cm5.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.6.(教材P96习题T1变式)如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D.若PA＝4，则△PCD的周长为8.7.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长.解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP.又∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°.∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°.∴∠BAC＝90°－60°＝30°.又∵AC是⊙O的直径，第 1 页
∴∠ABC＝90°.∴BC＝AC＝OA＝2.8.在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱体容器的直径不易直接测量).(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程).解：(1)根据切线长定理，知AB＝AC.(2)连接OB，OA.∵∠BAC＝120°，∴∠OAB＝60°.在Rt△AOB中，OB＝AB·tan∠OAB＝AB.∴圆的直径为2AB.即只需测得AB的长，就可求得圆的直径.中档题9.(教材P95想一想变式)如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(B)A.50 B.52 C.54 D.5610.(2019·济南)把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB＝60°.若量出AD＝6 cm，则圆形螺母的外直径是(D)A.12 cm B.24 cmC.6 cm D.12 cm11.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是.12.如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积.解：设AF＝x.∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠CBA＝90°.∴DA⊥AB，CB⊥AB.又∵OA，OB是⊙O的半径，第 2 页
∴AD，BC是圆的切线.∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，CE＝CB＝1.∴FD＝1－x，CF＝CE＋EF＝1＋x.在Rt△CDF中，由勾股定理，得CF2＝CD2＋DF2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x＝.∴DF＝1－x＝.∴S△CDF＝×1×＝.13.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积.解：(1)∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°.∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∴∠APB＝60°.(2)∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA＝PB.∴点P在AB的垂直平分线上.同理，点O在AB的垂直平分线上.∴PO垂直平分AB.∵∠APB＝60°，∠AOB＝120°，∴∠OPB＝∠OPA＝30°，∠POB＝∠POA＝60°.∵PO＝20 cm，∴OB＝10 cm.∴OD＝OB·cos∠POB＝5 cm.BD＝OB·sin∠POB＝5 cm.∴AB＝2BD＝10 cm.∴S△AOB＝×10×5＝25(cm2).综合题14.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G.且AB∥CD.BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；第 3 页
(2)求BE和CG的长.解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB.∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB.∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝×180°＝90°.∴∠BOC＝90°，∴BO⊥CO.(2)连接OF，则OF⊥BC.∵在Rt△BOC中，BO＝6 cm，CO＝8 cm，∴BC＝＝10(cm).易证Rt△BOF∽Rt△BCO，∴＝.∴＝，∴BF＝3.6 cm.∵AB，BC，CD分别与⊙O相切，∴BE＝BF＝3.6 cm，CG＝CF.∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4(cm)，∴CG＝CF＝6.4 cm.第 4 页
∴∠ABC＝90°.∴BC＝AC＝OA＝2.8.在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱体容器的直径不易直接测量).(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程).解：(1)根据切线长定理，知AB＝AC.(2)连接OB，OA.∵∠BAC＝120°，∴∠OAB＝60°.在Rt△AOB中，OB＝AB·tan∠OAB＝AB.∴圆的直径为2AB.即只需测得AB的长，就可求得圆的直径.中档题9.(教材P95想一想变式)如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(B)A.50 B.52 C.54 D.5610.(2019·济南)把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB＝60°.若量出AD＝6 cm，则圆形螺母的外直径是(D)A.12 cm B.24 cmC.6 cm D.12 cm11.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是.12.如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积.解：设AF＝x.∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠CBA＝90°.∴DA⊥AB，CB⊥AB.又∵OA，OB是⊙O的半径，第 2 页
∴AD，BC是圆的切线.∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，CE＝CB＝1.∴FD＝1－x，CF＝CE＋EF＝1＋x.在Rt△CDF中，由勾股定理，得CF2＝CD2＋DF2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x＝.∴DF＝1－x＝.∴S△CDF＝×1×＝.13.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积.解：(1)∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°.∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∴∠APB＝60°.(2)∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA＝PB.∴点P在AB的垂直平分线上.同理，点O在AB的垂直平分线上.∴PO垂直平分AB.∵∠APB＝60°，∠AOB＝120°，∴∠OPB＝∠OPA＝30°，∠POB＝∠POA＝60°.∵PO＝20 cm，∴OB＝10 cm.∴OD＝OB·cos∠POB＝5 cm.BD＝OB·sin∠POB＝5 cm.∴AB＝2BD＝10 cm.∴S△AOB＝×10×5＝25(cm2).综合题14.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G.且AB∥CD.BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；第 3 页
(2)求BE和CG的长.解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB.∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB.∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝×180°＝90°.∴∠BOC＝90°，∴BO⊥CO.(2)连接OF，则OF⊥BC.∵在Rt△BOC中，BO＝6 cm，CO＝8 cm，∴BC＝＝10(cm).易证Rt△BOF∽Rt△BCO，∴＝.∴＝，∴BF＝3.6 cm.∵AB，BC，CD分别与⊙O相切，∴BE＝BF＝3.6 cm，CG＝CF.∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4(cm)，∴CG＝CF＝6.4 cm.第 4 页
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