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第二十七章 相似27．1 图形的相似01 基础题知识点1 相似图形1．下列各组图形相似的是(B)2．下列各项中不是相似图形的是(C)A．放大镜里看到的三角板与原来的三角板B．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片C．哈哈镜里看到的人像与真人像D．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图知识点2 成比例线段3．下列各组线段成比例的是(D)A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cmB．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmD．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm4．已知线段a，b，c，d成比例，且＝，其中a＝8 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，则d＝6cm.5．在比例尺为1∶200 000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为9__000m.知识点3 相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)A. B. C. D.7．(2019·重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C)A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm8．下列四组图形中，一定相似的是(D)A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝，α＝80°．10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，A′B′＝AB.∴∠OA′B′＝∠OAB，＝.同理，∠OA′D′＝∠OAD，＝.∴∠B′A′D′＝∠BAD，＝.同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，＝＝＝，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．易错点 没有分情况讨论导致漏解11．已知三条线段的长分别为1 cm、2 cm、 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为__cm ， 2__cm 或__cm.02 中档题12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C)第 1 页
A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B)A．2 B．3 C．－3 D．3或－314．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)A．2DE＝3MN B．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F15．(教材P28习题T5变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4.(1)求，，的值；(2)求证：△ADE与△ABC相似. 解：(1)＝＝，＝＝，＝＝. (2)证明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，∴△ADE与△ABC相似．16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.∴AE＝EG＝FG＝AF.又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE为正方形．∴＝＝＝，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．03 综合题17．(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝，即＝.解得x＝4(舍负)．∴AD的长为4.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为＝＝.第 2 页
27．2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例01 基础题知识点1 相似三角形的有关概念1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)A.＝＝ B.＝C.＝＝ D.＝2．已知△ABC和△A′B′C′相似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D)A．R1＝R2 B．R1R2＝－1C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1知识点2 平行线分线段成比例定理及推论3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C)A.＝ B.＝C.＝ D.＝4．(教材P31练习T2变式)如图，在△ABC中，DE∥BC.若＝，则＝(C)A. B. C. D.5．(2019·临沂)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝4．6．(2019·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知＝，则＝2．7．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．解：∵EG∥BC，∴＝.∵GF∥CD，∴＝.∴＝，即＝.∴FD＝4.∴AD＝AF＋FD＝10.知识点3 相似三角形判定的预备定理8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则(B)A.＝ B.＝ C.＝ D.＝9．(2019·自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1. 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点 图形的不唯一导致漏解11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6 或 12．02 中档题12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C)A．4 B．3 C．2.4 D．213．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝12cm.14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从第 3 页
底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.∴＝，即＝.∴AD＝10.答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE.∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE.∴＝＝.∴＝＝.又∵∠C＝∠AED＝∠G，∠B＝∠ADE＝∠F，∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.03 综合题16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC.∴＝，即＝.∴EG＝6.∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD.∴＝，即＝.∴EF＝.∴FG＝EG－EF＝.第 4 页
第2课时 相似三角形的判定定理1，201 基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(A)A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断2．(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C)A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B)4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C)6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C)A.＝ B.＝ C.＝ D.＝7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3 时，△ABC∽△A′B′C′.8．如图，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．9．如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴＝＝.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.易错点 对应边没有确定时容易漏解10. (2019·随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝或时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．02 中档题11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C)A．P1 B．P2 C．P3 D．P412．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B)A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)若＝，求的值．解：(1)证明：∵
A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B)A．2 B．3 C．－3 D．3或－314．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)A．2DE＝3MN B．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F15．(教材P28习题T5变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4.(1)求，，的值；(2)求证：△ADE与△ABC相似. 解：(1)＝＝，＝＝，＝＝. (2)证明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，∴△ADE与△ABC相似．16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.∴AE＝EG＝FG＝AF.又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE为正方形．∴＝＝＝，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．03 综合题17．(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝，即＝.解得x＝4(舍负)．∴AD的长为4.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为＝＝.第 2 页
27．2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例01 基础题知识点1 相似三角形的有关概念1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)A.＝＝ B.＝C.＝＝ D.＝2．已知△ABC和△A′B′C′相似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D)A．R1＝R2 B．R1R2＝－1C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1知识点2 平行线分线段成比例定理及推论3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C)A.＝ B.＝C.＝ D.＝4．(教材P31练习T2变式)如图，在△ABC中，DE∥BC.若＝，则＝(C)A. B. C. D.5．(2019·临沂)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝4．6．(2019·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知＝，则＝2．7．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．解：∵EG∥BC，∴＝.∵GF∥CD，∴＝.∴＝，即＝.∴FD＝4.∴AD＝AF＋FD＝10.知识点3 相似三角形判定的预备定理8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则(B)A.＝ B.＝ C.＝ D.＝9．(2019·自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1. 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点 图形的不唯一导致漏解11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6 或 12．02 中档题12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C)A．4 B．3 C．2.4 D．213．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝12cm.14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从第 3 页
底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.∴＝，即＝.∴AD＝10.答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE.∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE.∴＝＝.∴＝＝.又∵∠C＝∠AED＝∠G，∠B＝∠ADE＝∠F，∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.03 综合题16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC.∴＝，即＝.∴EG＝6.∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD.∴＝，即＝.∴EF＝.∴FG＝EG－EF＝.第 4 页
第2课时 相似三角形的判定定理1，201 基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(A)A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断2．(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C)A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B)4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C)6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C)A.＝ B.＝ C.＝ D.＝7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3 时，△ABC∽△A′B′C′.8．如图，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．9．如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴＝＝.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.易错点 对应边没有确定时容易漏解10. (2019·随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝或时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．02 中档题11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C)A．P1 B．P2 C．P3 D．P412．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B)A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)若＝，求的值．解：(1)证明：∵
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