第二十四章　圆24.1　圆的有关性质24.1.1　圆学习目标1.理解圆的两种定义形式.2.理解与圆有关的一些概念.重点：圆的有关概念.难点：定义圆应该具备的两个条件．学习过程一、创设问题情境活动1:观察图形,从中找到共同特点.二、揭示问题规律(一)圆活动2:1.画圆2.圆的定义:归纳:圆心是确定圆在平面内的___________的,半径是确定圆的___________的,所以,圆是由___________和___________两个要素确定的. 圆有___________个圆心, ___________条半径,同一个圆中所有的___________都相等.活动3:结合定义,师生共同讨论以下几个问题:(1)篮球是圆吗?为什么?(2)以3厘米为半径的圆,能画出几个?为什么?(3)以点O为圆心画圆,能画几个?为什么?(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?第 1 页


3.从画圆的过程可以看出:(1)圆上各点到___________的距离都等于___________.(2)到定点的距离等于定长的点都___________.因此,圆心为O,半径为r的圆可以看成是______________________的点的集合. 活动4:讨论圆中相关元素的定义:(二)与圆有关的概念:(画图,结合图形说明)1.弦: ______________________.直径: ______________________.思考:直径是不是弦?弦是不是直径?答: ______________________.2.弧: ______________________.半圆: ______________________.由此可知:弧可分为三类,大于半圆的弧叫___________,小于半圆的弧叫___________,还有半圆. 3.等圆:能够重合的圆.等圆的半径　. 4.同心圆:圆心相同,半径不同的圆.请你画出来:5.等弧: ______________________.思考:长度相等的两条弧是否是等弧?为什么?答: ______________________;等弧只能出现在___________或___________中.三、解决问题活动5:1.在现实生活中,许多物体给我们以圆的形象,同学们想一想,为什么车轮要做成圆形的,如果是椭圆的或其他形状可以吗?2.判断(1)直径是弦,弦也是直径.(　　)(2)半圆是弧,弧也是半圆.(　　)(3)同圆的直径是半径的2倍.(　　)(4)长度相等的弧是等弧.(　　)(5)等弧的长度相等.(　　)(6)过圆心的直线是直径.()(7)直径是圆中最长的弦.(　　)四、变式训练活动6:1.如何在操场上画一个半径是5 m的圆?说出你的理由.2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树生长的年龄.如果一棵20第 2 页


料多B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样
多D．无法确定4.如图，四边形PAOB是
扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上
移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　）A．
逐渐变大 B．逐渐变小C．不变 D．不能确定二、
填空题5. 在直
角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，
那么这个圆上的格点有______个．6.将
一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO=_____度．7.如图，正
方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中
阴影部分的面积为________.三、解答题8.若Rt△ABC的三个
顶点A、B、C在⊙O上，求证：Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心．9. 如图，
已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且第 3 页
年树龄的红杉树的树干直径是23 cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?五、反思小结六、达标测试一、选择题1.下列说法中，（1）长度相等的两条弧一定是等弧；（2）半径相等的两个半圆是等弧；（3）同一条弦所对的两条弧一定是等弧；（4）直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线．其中正确说法的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（）A．（0，1） B．（0，-1）C．（ 1，0） D．（-1，0）2题图 3题图 4题图 6题图3.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（　　）A．图（1）需要的材


3
求AC的长．24.1　圆的有关性质24.1.2　
2 R，试
垂直于弦的直径学习目标1.掌握垂
径定理及相关结论.2.运用
这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.重点：理解圆的轴对
称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关
证明、计算和作图问题.难点：垂
径定理及其推论.学习过程一、创设问题情境问题:你知
道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与
智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能
求出赵州桥主桥拱的半径吗?二、揭示问题规律活动1:用
你手中的一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能
得到什么结论?活动2:如图1,AB是☉O的一条弦,作
直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.图1(1)这个图形是轴对
称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能
发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?相等的线段:相等的弧:由此可
得垂径定理:　. 请结合图形,写
出它的推理形式.∵____________________；∴____________________.若将
问题中的直径CD⊥AB改为CD平分AB,第 4 页
CD=


又能得到结论: (图中弦AB是否可为直径?)请结合图形,写
出它的推理形式. ∵____________________；∴____________________.三、解决问题活动3:1.在下列图形中,你能否
利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.2.填空(1)如 图(1),半径为4 cm的☉O中,弦AB=4 cm,那
么圆心O到弦AB的距离是______________.(2)如图(2),☉O的直径为10 cm,圆心O到弦AB的距离为3 cm,则弦AB的长是____________.(3)如图(3),半径为2 cm的圆中,过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是_______________.3.解决
求赵州桥拱半径的问题.四、变式训练活动4:1.某
居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面
至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?五、反思小结2.通
过本节课的学习,你能编一道用垂径定理来解决的数学问题吗?六、达标测试一、选择题1.如图，AB是
⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）A．OE=BE B．弧BC=弧BD C．
△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形1题图 2题图 3题图2.如图，AB为
⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）第 5 页
你


网格中一段圆弧经过点A、B、C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　）A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1） D．（2，1）二、
填空题4.如图，AB是
⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．BC=8，ED=2，则⊙O的半径为________.4题图 5题图5.如图，
⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则
△OCE的面积为_______.6.已
知⊙O的半径为5，P为圆内的一点，OP=4，则过点P弦长的最小值是______.三、解答题7.如图，AB是圆O的直径，
作半径OA的垂直平分线，交圆O于C、D两点，垂足为H，
连接BC、BD．（1）
求证：BC=BD；（2）
已知CD=6，求圆O的半径长．8.如图所示，该小
组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们
开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同
时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，
求小桥所在圆的半径．24.1　圆的有关性质24.1.3　弧、弦、圆心
角学习目标理解弧、弦、圆心
角之间的关系,并运用这些关系解决有关的证明、计算问题.重点：圆心
角、弦、弧、弦心距的关系定理：难点：正确
识别圆心角，圆心角所对的弧，圆心角所对的弦，圆心角所对的弦的弦心距，探索
定理和推论及其应用． 学习过程一、创设问题情境1.圆是轴对
称图形,其对称轴是______________________.圆还是____________对称图形,其对
称中心是____________.第 6 页
A．8B．10C．16D．203.坐标


绕____________旋转____________度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性. 二、揭示问题规律1.圆心
角:顶点在____________的角,叫圆心角.2.探究:(1)如图,☉O中∠AOB=∠A'OB',则A________A'B',AB⏜_______A'B'⏜.(2)如图,☉O中AB⏜=A'B'⏜,则∠AOB_______∠A'OB',AB_______A'B'. (3)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB_______∠A'OB',AB⏜ ________A'B'⏜. 文字语言叙述:在同圆或等圆中,相等的圆心
角所对的弧____________,所对的弦也____________.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那
么它们所对的圆心角____________,所对的弦____________.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那
么它们所对的圆心角____________,所对的弧____________.符号语言:如上图(1)∵∠AOB=∠A'OB',∴____________,____________.(2)∵AB⏜=A'B'⏜,∴____________,____________; (3)∵AB=A'B',∴____________,____________. 3.反
例:在图中,∠AOB=∠A'OB',但弦AB和A'B'相等吗?AB⏜和A'B'⏜相等吗?三、解决问题【例1】
⏜,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.第 7 页
如图:在☉O中,弧AB⏜=
AC
2.圆


如图,AB