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第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷(时间:120分钟 满分:150分)卷Ⅰ一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)1.sin 30°等于( A )(A)(B)(C)1(D)2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos A等于( C )(A)(B)(C)(D)3.若cos(α+10)=1,则锐角α的度数是( C )(A)20°(B)30°(C)35°(D)45°4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列等式中正确的是( D )(A)cos A=(B)sin B=(C)tan B=(D)以上都不正确5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=5,AC=6,则cos B的值是( A )(A)(B)(C)(D)6.如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),sin α的值是( A)第 1 页
(A)(B)(C)(D)7.在△ABC中tan A=,cos B=,则∠C的度数是( D )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°8.计算4sin 60°-2tan 45°的结果是( C )(A)0(B)2-(C)2-2(D)9.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于点D.已知cos ∠ACD=,BC=4,则AC的长为(D )(A)1(B)(C)3(D)10.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC边上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是( A )(A) (B)2 (C)3 (D)11.如图所示,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC上找一点B,取∠ABD=145°,BD=500 m,∠D=55°,要使A,C,E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是( B )(A)500sin 55° m(B)500cos 55° m(C)500tan 55° m(D) m第 2 页
12.如图,学校大门出口处有一自动感应栏杆,点A是栏杆转动的支点,当车辆经过时,栏杆AE会自动升起.某天早上,栏杆发生故障,在某个位置突然卡住,这时测得栏杆升起的角度∠BAE=127°,已知AB⊥BC,支架AB高1.2米,大门BC打开的宽度为2米,以下哪辆车可以通过?(栏杆宽度,汽车反光镜忽略不计)(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,车辆尺寸:长×宽×高)( C )(A)宝马Z4(4 200 mm×1 800 mm×1 360 mm)(B)奇瑞QQ(4 000 mm×1 600 mm×1 520 mm)(C)大众朗逸(4 600 mm×1 700 mm×1 400 mm)(D)奥迪A4(4 700 mm×1 800 mm×1 400 mm)卷Ⅱ二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)13.如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则sin A= . 第13题图14.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=4,则点D到AB的距离是 . 第14题图15.在△ABC中,∠B=45°,cos A=,则∠C的度数是 75 ° . 第 3 页
☉O的半径为3,AC=4,则sin B= . 第16题图17.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角(如图所示),作业时调整为60°角,则梯子的顶端沿墙面升高了 2(-) m. 第17题图18.在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6,若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP的长为 2或 4或 6 . 三、解答题(本题共9小题,共90分)19.(8分)计算下列各题:(1)(2cos 45°-sin 60°)+;(2)(-2)0-3tan30°-|-2|.解:(1)(2cos 45°-sin 60°)+=（2×-）+=(-)+=2-+=2.第 4 页
16.如图,已知△ABC的外接圆
(2)(-2)0-3tan 30°-|-2|=1-+-2=-1.20.(8分)在△ABC中,∠C=90°.(1)已知c=8,∠A=60°,求∠B及a,b的值;(2)已知a=3,c=6,求∠A,∠B及b的值.解:(1)∠B=30°,a=12,b=4.(2)∠A=∠B=45°,b=3.21.(8分)如图,在△ABC中,已知BC=1+,∠B=60°,∠C=45°,求AB的长.解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.设BD=x,在Rt△ABD中,AD=BD·tan B=x·tan 60°=x.在Rt△ACD中,∵∠C=45°,∴CD=AD·tan 45°=x.∵BC=1+,∴x+x=1+,解得x=1,即BD=1.在Rt△ABD中,AB===2.第 5 页
22.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=.(1)求∠B的度数;(2)求边AB与BC的长.解:(1)在Rt△ACD中,∵cos ∠CAD===,∠CAD为锐角,∴∠CAD=30°,∠BAD=∠CAD=30°,即∠CAB=60°.∴∠B=90°-∠CAB=30°.(2)在Rt△ABC中,∵sin B=,∴AB===16.又cos B=,∴BC=AB·cos B=16×=8.23.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠D=∠B=90°,求四边形ABCD的面积.解:如图,延长BC,AD交于点E.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.第 6 页
在Rt△ABE中,BE===2.在Rt△CDE中,DE===.∴S四边形ABCD=SRt△ABE-SRt△ECD=AB·BE-CD·ED=×2×2-×1×=.24.(10分)小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,求出67.5°角的正切值.解:∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点E处,∴AB=BE,∠AEB=∠EAB=45°.还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,∴AE=EF,∠EAF=∠EFA=45°÷2=22.5°,∴∠FAB=67.5°.设AB=x,则AE=EF=x,第 7 页
∴tan∠FAB=tan 67.5°===+1.25.(12分)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.(1)求斜坡CD的高度DE;(2)求大楼AB的高度.(结果保留根号)解:(1)在Rt△DCE中,DC=4米,∠DCE=30°,∠DEC=90°,∴DE=DC=2米.(2)如图,过点D作DF⊥AB,交AB于点F,则∠BFD=90°,∠BDF=45°,∴∠DBF=45°,即△BFD为等腰直角三角形.设BF=DF=x米,∵四边形DEAF为矩形,∴AF=DE=2米,即AB=(x+2)米.在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴BC===(米).∵∠DCE=30°,∠ACB=60°,∴∠DCB=90°.第 8 页
交于点A,与直线y=2x交于点B.(1)求点B的坐标;(2)求sin ∠BAO的值.解:(1)解方
程组得∴点B的坐标为(1,2).(2)如图,过点B作BC⊥x轴
于点C,由x+=0,解得x=-3,则A(-3,0),∴OA=3,∴AB==2,∴sin ∠BAC===,即sin ∠BAO=.27.(14分)某校
兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景.如图,游轮出发点A与
望海楼B的距离为300 m,在A处测得望海楼B位于A的北偏第 9 页
在Rt△BCD中,BD=BF=x米,DC=4米,根据勾股定理得2x2=+16,解得x=4+4或x=4-4(舍去),则大楼AB的高度为(6+4)米.26.(12分)如图,直线y=x+与x轴
向,游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C,在C处测得望海楼B位于C的
北偏东60°方向,求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(取1.73,结果保留整数)解:根据题
意可知AB=300 m.如图所示,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.在Rt△ADB中,因
为∠BAD=30°,所以BD=AB=×300=150(m).在Rt△CDB中,因
为sin ∠DCB=,所以BC===≈173(m).答:此
时游轮与望海楼之间的距离BC约为173 m.第 10 页
东30°方
(A)(B)(C)(D)7.在△ABC中tan A=,cos B=,则∠C的度数是( D )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°8.计算4sin 60°-2tan 45°的结果是( C )(A)0(B)2-(C)2-2(D)9.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于点D.已知cos ∠ACD=,BC=4,则AC的长为(D )(A)1(B)(C)3(D)10.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC边上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是( A )(A) (B)2 (C)3 (D)11.如图所示,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC上找一点B,取∠ABD=145°,BD=500 m,∠D=55°,要使A,C,E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是( B )(A)500sin 55° m(B)500cos 55° m(C)500tan 55° m(D) m第 2 页
12.如图,学校大门出口处有一自动感应栏杆,点A是栏杆转动的支点,当车辆经过时,栏杆AE会自动升起.某天早上,栏杆发生故障,在某个位置突然卡住,这时测得栏杆升起的角度∠BAE=127°,已知AB⊥BC,支架AB高1.2米,大门BC打开的宽度为2米,以下哪辆车可以通过?(栏杆宽度,汽车反光镜忽略不计)(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,车辆尺寸:长×宽×高)( C )(A)宝马Z4(4 200 mm×1 800 mm×1 360 mm)(B)奇瑞QQ(4 000 mm×1 600 mm×1 520 mm)(C)大众朗逸(4 600 mm×1 700 mm×1 400 mm)(D)奥迪A4(4 700 mm×1 800 mm×1 400 mm)卷Ⅱ二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)13.如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则sin A= . 第13题图14.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=4,则点D到AB的距离是 . 第14题图15.在△ABC中,∠B=45°,cos A=,则∠C的度数是 75 ° . 第 3 页
☉O的半径为3,AC=4,则sin B= . 第16题图17.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角(如图所示),作业时调整为60°角,则梯子的顶端沿墙面升高了 2(-) m. 第17题图18.在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6,若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP的长为 2或 4或 6 . 三、解答题(本题共9小题,共90分)19.(8分)计算下列各题:(1)(2cos 45°-sin 60°)+;(2)(-2)0-3tan30°-|-2|.解:(1)(2cos 45°-sin 60°)+=（2×-）+=(-)+=2-+=2.第 4 页
16.如图,已知△ABC的外接圆
(2)(-2)0-3tan 30°-|-2|=1-+-2=-1.20.(8分)在△ABC中,∠C=90°.(1)已知c=8,∠A=60°,求∠B及a,b的值;(2)已知a=3,c=6,求∠A,∠B及b的值.解:(1)∠B=30°,a=12,b=4.(2)∠A=∠B=45°,b=3.21.(8分)如图,在△ABC中,已知BC=1+,∠B=60°,∠C=45°,求AB的长.解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.设BD=x,在Rt△ABD中,AD=BD·tan B=x·tan 60°=x.在Rt△ACD中,∵∠C=45°,∴CD=AD·tan 45°=x.∵BC=1+,∴x+x=1+,解得x=1,即BD=1.在Rt△ABD中,AB===2.第 5 页
22.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=.(1)求∠B的度数;(2)求边AB与BC的长.解:(1)在Rt△ACD中,∵cos ∠CAD===,∠CAD为锐角,∴∠CAD=30°,∠BAD=∠CAD=30°,即∠CAB=60°.∴∠B=90°-∠CAB=30°.(2)在Rt△ABC中,∵sin B=,∴AB===16.又cos B=,∴BC=AB·cos B=16×=8.23.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠D=∠B=90°,求四边形ABCD的面积.解:如图,延长BC,AD交于点E.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.第 6 页
在Rt△ABE中,BE===2.在Rt△CDE中,DE===.∴S四边形ABCD=SRt△ABE-SRt△ECD=AB·BE-CD·ED=×2×2-×1×=.24.(10分)小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,求出67.5°角的正切值.解:∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点E处,∴AB=BE,∠AEB=∠EAB=45°.还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,∴AE=EF,∠EAF=∠EFA=45°÷2=22.5°,∴∠FAB=67.5°.设AB=x,则AE=EF=x,第 7 页
∴tan∠FAB=tan 67.5°===+1.25.(12分)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.(1)求斜坡CD的高度DE;(2)求大楼AB的高度.(结果保留根号)解:(1)在Rt△DCE中,DC=4米,∠DCE=30°,∠DEC=90°,∴DE=DC=2米.(2)如图,过点D作DF⊥AB,交AB于点F,则∠BFD=90°,∠BDF=45°,∴∠DBF=45°,即△BFD为等腰直角三角形.设BF=DF=x米,∵四边形DEAF为矩形,∴AF=DE=2米,即AB=(x+2)米.在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴BC===(米).∵∠DCE=30°,∠ACB=60°,∴∠DCB=90°.第 8 页
交于点A,与直线y=2x交于点B.(1)求点B的坐标;(2)求sin ∠BAO的值.解:(1)解方
程组得∴点B的坐标为(1,2).(2)如图,过点B作BC⊥x轴
于点C,由x+=0,解得x=-3,则A(-3,0),∴OA=3,∴AB==2,∴sin ∠BAC===,即sin ∠BAO=.27.(14分)某校
兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景.如图,游轮出发点A与
望海楼B的距离为300 m,在A处测得望海楼B位于A的北偏第 9 页
在Rt△BCD中,BD=BF=x米,DC=4米,根据勾股定理得2x2=+16,解得x=4+4或x=4-4(舍去),则大楼AB的高度为(6+4)米.26.(12分)如图,直线y=x+与x轴
向,游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C,在C处测得望海楼B位于C的
北偏东60°方向,求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(取1.73,结果保留整数)解:根据题
意可知AB=300 m.如图所示,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.在Rt△ADB中,因
为∠BAD=30°,所以BD=AB=×300=150(m).在Rt△CDB中,因
为sin ∠DCB=,所以BC===≈173(m).答:此
时游轮与望海楼之间的距离BC约为173 m.第 10 页
东30°方
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