第二十八章　锐角三角函数28．1　锐角三角函数第1课时　正弦基础题知识点1　已知直角三角形的边长，求锐角的正弦值1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则sinA＝(A)A. B. C. D.2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则sinB＝．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若2a＝c，则∠A的正弦值等于．4．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为．5．分别求出图1，图2中∠A，∠B的正弦值. 　图1　　　 　　　　　　　　图2解：图1中AC＝＝＝4，∴sinA＝＝，sinB＝.图2中AB＝＝＝2，∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝.6．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，设a＝2k，c＝3k(k>0)．∴b＝＝k.∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝.知识点2　已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长7．(兰州中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝(D)A．4 B．6 C．8 D．108．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝15，求△ABC的周长．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝＝，∴BC＝12，AC＝＝＝9.∴△ABC的周长为9＋12＋15＝36.中档题9．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(A)A．不变 B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍 D．不能确定10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(C)A. B. C. D．111．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值为(C)A. B. C. D. 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为(A)A.B.C.D.13．(扬州中考)在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝6．14．(黄石中考)如图，圆O的直径CD＝10 cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP＝．第 1 页


15．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝.16．如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sinA＝，求DE的长和菱形ABCD的面积．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.在Rt△AED中，sinA＝，即＝.解得DE＝6.∴菱形ABCD的面积为：10×6＝60(cm2)．17．如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求sin∠OPA的值．解：作OC⊥AB于C点．根据垂径定理，AC＝BC＝4.∴CP＝4＋2＝6(cm)．在Rt△OAC中，OC＝＝3(cm)．在Rt△OCP中，根据勾股定理，得OP＝＝＝3(cm)．故sin∠OPA＝＝＝.综合题18．(鄂州中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝(D)A. B. C. D.第 2 页


第2课时　锐角三角函数基础题知识点1　余弦1．(湖州中考)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A. B. C. D. 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(A)A．4 B．2C. D.3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是(D)A. B. C. D.4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB＝10，cosA ＝. 知识点2　正切5．(湖州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是(A)A．2 B．8 C．2 D．46．(南通中考)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是(C)A. B. C. D．27．已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为.8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BC＝2，AB＝3，求tan∠BCD.解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.∴∠A＋∠ACD＝90°.又∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠A.在Rt△ABC中，AC＝＝＝.∴tan∠A＝＝＝.∴tan∠BCD＝tan∠A＝.知识点3　锐角三角函数9．(崇左中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(A)A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝10．(惠山期末)已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为(B)A. B. C. D.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24.(1)求AB的长；(2)求sinA，cosA，tanA的值．解：(1)由勾股定理，得AB＝＝＝25.(2)sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.中档题12．(丽水中考)如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(C)A.B. C.D.13．(乌兰察布中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是(D)A. B．3 C. D．214．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点，P是弧上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是(C)A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα)第 3 页


C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα)15．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是(C)A．4 B．2 C．8 D．416．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为(D)A. B. C. D．217．如图，∠1的正切值等于．18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD.如果AD＝1，那么tan∠BCD＝－ 1．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求cosA，tanB的值．解：∵sinA＝，∴设BC＝k，AB＝3k(k>0)．由勾股定理，得AC＝＝＝k.∴cosA＝，tanB＝.20．(重庆中考)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝，∴＝＝，即AD＝4.又AB＝12，∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，BC＝＝10.∴sinB＝＝＝，cosB＝＝＝.∴sinB＋cosB＝＋＝.综合题21．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果＝，求tan∠DCF的值．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°.∵＝，且由折叠知CF＝BC，∴＝.设CD＝2x，CF＝3x(x>0)，∴DF＝＝x.∴tan∠DCF＝＝＝.第 4 页


第3课时　特殊角的三角函数值基础题知识点1　特殊角的三角函数值1．tan60°的值等于(D)A. B. C. D.2．(天津中考)sin60°的值等于(C)A. B. C. D.3．(防城港中考)计算：cos245°＋sin245°＝(B)A. B．1 C. D.4．计算：tan45°＋cos45°＝2.5．在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝1.6．计算：(1)sin30°＋cos45°；解：原式＝＋＝.(2)cos30°·tan30°－tan45°；解：原式＝×－1＝－1＝－.(3)sin260°＋cos260°；解：原式＝()2＋()2＝1.(4)sin45°＋sin60°·cos45°.解：原式＝×＋×＝.知识点2　由三角函数值求特殊角7．(邵阳中考)在△ABC中，若|sinA－|＋(cosB－)2＝0，则∠C的度数是(D)A．30° B．45° C．60° D．90°8．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝，那么下列最确切的结论是(C)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形9．满足tanα＝1的锐角α的度数是45°．知识点3　用计算器计算三角函数值10．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是(C)A. B. C. D. 11.已知sinA＝0.370 6，则锐角A＝21.75°.(保留两位小数)12．利用计算器求∠A＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sinA＝sin18°36′≈0.319 0，cosA＝cos18°36′≈0.947 8，tanA＝tan18°36′≈0.336 5.中档题13．下列各数中为无理数的是(C)A. －1 B．3.14 C．cos30° D．014．李红同学遇到了这样一道题：tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)A．40° B．30° C．20° D．10°15．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－的值是(B)A．2－2 B．0C．2 D．216．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为(C)第 5 页


A．(，1) B．(1，)C．(＋1，1) D．(1，＋1)17．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠BOC＝120°，则tanA的值为(A)A. B. C. D. 18．(烟台中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝．19．正比例函数y＝x的图象与x轴的夹角为α，则α＝30°．20．计算：(1)×sin45°－2 0170＋2－1；解：原式＝2×－1＋＝2－1＋＝.(2)(巴中中考)|－|＋sin45°＋tan60°－(－)－1－＋(π－3)0.解：原式＝＋×＋－(－3)－2＋1＝＋1＋＋3－2＋1＝5.21．已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3＝0的一个根，求2sin2α＋cos2α－tan(α＋15°)的值．解：解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3.∵tanα＞0，∴tanα＝1.∴α＝45°.∴2sin2α＋cos2α－tan(α＋15°)＝2sin245°＋cos245°－tan(45°＋15°)＝2sin245°＋cos245°－tan60°＝2×()2＋()2－×＝－.综合题22．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan 15°的值(结果保留根号). 解：∵∠A＝15°，∠BDC＝30°，∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝15°.∴AD＝DB.设BC＝x，在Rt△BDC中，∵∠BDC＝30°，∴DB＝2BC＝2x，DC＝＝x.∴AD＝BD＝2x，AC＝AD＋DC＝(2＋)x.在Rt△ABC中，tan15°＝＝＝2－.第 6 页


参数3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(D)A. B. C. D.4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，则tan∠DBE的值是2．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．(1)求
证：△ACE≌△AFE；(2)求tan∠CAE的值．解：(1)证明
：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE＝EF.在Rt△ACE与Rt△AFE中，∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)．(2)由(1)可
知△ACE≌△AFE，∴AC＝AF，CE＝FE.设BF＝m，则AF＝2m，AC＝2m，AB＝3m，∴BC＝＝＝m.∴在Rt△ABC��