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强化训练 相似三角形(27.2)一、选择题1.下列说法不正确的是( C )(A)有一个角等于60°的两个等腰三角形相似(B)有一个底角等于30°的两个等腰三角形相似(C)有一个锐角相等的两个等腰三角形相似(D)有一个锐角相等的两个直角三角形相似2.(2019萧山模拟)如图,身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3米,CA=1米,则树的高度为( D )(A)3米(B)4米(C)4.5米(D)6米3.如图,E,F分别为矩形ABCD的边AD,CD上的点,∠BEF=90°,则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个三角形中一定相似的是( D )(A)Ⅰ和Ⅱ (B)Ⅰ和Ⅲ (C)Ⅱ和Ⅲ (D)Ⅲ和Ⅳ4.如图,三角形ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,AD∶DB=1∶2,BC=30 cm,则FC的长为( B )(A)10 cm(B)20 cm第 1 页
(C)5 cm(D)6 cm5.(2019随州)如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O,若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE的比是(B )(A)1∶3(B)1∶4(C)1∶5(D)1∶256.(2019绵阳)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm,则旗杆DE的高度等于( B )(A)10 m(B)12 m(C)12.4 m (D)12.32 m二、填空题第 2 页
7.(2019锦州)如图,在△ABC中,点D为AC上一点,且=,过点D作DE∥BC交AB于点E,连接CE,过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB=15,则EF= . 8.如图,已知△ABC和△AED均为等边三角形,点D在BC边上,DE与AB相交于点F,如果AC=12,CD=4,那么BF的长度为 . 9.如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于点E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于点F,AD交PC于点G,则图中相似三角形有 3 对. 10.如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN= 4 或 6 . 三、解答题11.如图,在平行四边形ABCD中,点E为边BC上一点,连接AE并延长交DC的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GF∥BC交DC于点F.求证:=.第 3 页
证明:因为GF∥BC,所以=,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AB∥CD,所以=,所以=.12.如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.(1)△ABE与△ADF相似吗?请说明理由;(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.解:(1)△ABE与△ADF相似.理由如下:因为四边形ABCD为矩形,DF⊥AE,所以∠ABE=∠AFD=90°,∠AEB=∠DAF,所以△ABE∽△DFA.(2)因为△ABE∽△DFA,所以=,因为在Rt△ABE中,AB=6,BE=8,所以AE=10,所以DF===7.2,第 4 页
答:DF的长为7.2.13.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD=6,AE=6,求AF的长.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AB∥CD,所以∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°;因为∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,所以∠AFD=∠C,所以△ADF∽△DEC.(2)解:因为CD=AB=8,AE⊥BC,所以AE⊥AD,∠EAD=90°,在Rt△ADE中,DE==12,因为△ADF∽△DEC,第 5 页
所以=;所以=,所以AF=4.14.(2019梧州)在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,=3,连接CH并延长交AB于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.(1)求证:=;(2)若∠CGF=90°,求的值.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以CD∥AB,所以△CEH∽△GBH,所以=.(2)解:作EM⊥AB于M,如图所示:因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ADEM是矩形,第 6 页
则EM=BC=AD,AM=DE,因为E为CD的中点,所以DE=CE,设DE=CE=3a,则AB=CD=6a,由(1)得==3,所以BG=CE=a,所以AG=5a,因为∠EDF=90°=∠CGE,∠DEF=∠GEC,所以△DEF∽△GEC,所以=,所以EG·EF=DE·EC,因为CD∥AB,所以==,所以=,所以EF=EG,所以EG·EG=3a·3a,解得EG=a,第 7 页
在Rt△EMG中,GM=2a,所以EM==a,所以BC=a,所以==3.第 8 页
(C)5 cm(D)6 cm5.(2019随州)如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O,若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE的比是(B )(A)1∶3(B)1∶4(C)1∶5(D)1∶256.(2019绵阳)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm,则旗杆DE的高度等于( B )(A)10 m(B)12 m(C)12.4 m (D)12.32 m二、填空题第 2 页
7.(2019锦州)如图,在△ABC中,点D为AC上一点,且=,过点D作DE∥BC交AB于点E,连接CE,过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB=15,则EF= . 8.如图,已知△ABC和△AED均为等边三角形,点D在BC边上,DE与AB相交于点F,如果AC=12,CD=4,那么BF的长度为 . 9.如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于点E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于点F,AD交PC于点G,则图中相似三角形有 3 对. 10.如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN= 4 或 6 . 三、解答题11.如图,在平行四边形ABCD中,点E为边BC上一点,连接AE并延长交DC的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GF∥BC交DC于点F.求证:=.第 3 页
证明:因为GF∥BC,所以=,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AB∥CD,所以=,所以=.12.如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.(1)△ABE与△ADF相似吗?请说明理由;(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.解:(1)△ABE与△ADF相似.理由如下:因为四边形ABCD为矩形,DF⊥AE,所以∠ABE=∠AFD=90°,∠AEB=∠DAF,所以△ABE∽△DFA.(2)因为△ABE∽△DFA,所以=,因为在Rt△ABE中,AB=6,BE=8,所以AE=10,所以DF===7.2,第 4 页
答:DF的长为7.2.13.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD=6,AE=6,求AF的长.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AB∥CD,所以∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°;因为∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,所以∠AFD=∠C,所以△ADF∽△DEC.(2)解:因为CD=AB=8,AE⊥BC,所以AE⊥AD,∠EAD=90°,在Rt△ADE中,DE==12,因为△ADF∽△DEC,第 5 页
所以=;所以=,所以AF=4.14.(2019梧州)在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,=3,连接CH并延长交AB于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.(1)求证:=;(2)若∠CGF=90°,求的值.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以CD∥AB,所以△CEH∽△GBH,所以=.(2)解:作EM⊥AB于M,如图所示:因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ADEM是矩形,第 6 页
则EM=BC=AD,AM=DE,因为E为CD的中点,所以DE=CE,设DE=CE=3a,则AB=CD=6a,由(1)得==3,所以BG=CE=a,所以AG=5a,因为∠EDF=90°=∠CGE,∠DEF=∠GEC,所以△DEF∽△GEC,所以=,所以EG·EF=DE·EC,因为CD∥AB,所以==,所以=,所以EF=EG,所以EG·EG=3a·3a,解得EG=a,第 7 页
在Rt△EMG中,GM=2a,所以EM==a,所以BC=a,所以==3.第 8 页
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