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第二十六章 反比例函数主题反比例函数课型新授课上课时间教学内容26.1 反比例函数,26.2 实际问题与反比例函数教材分析本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数、二次函数的基础上,再次进入函数范畴,使学生进一步理解函数的内涵,并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题.反比例函数是最基本的函数之一,是后续学习各类函数的基础.教学目标1.知识与技能(1)领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念,加深对函数概念的理解;(2)能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式;(3)掌握反比例函数的图象与性质;(4)能利用反比例函数图象与性质解决相关的实际问题.2.过程与方法探索现实生活中数量间的反比例关系,在解决实际问题的过程中,进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型,进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点;学会利用数形结合的数学思想解决问题.3.情感、态度与价值观从现实情境和已有知识经验出发研究两个变量之间的相互关系,领悟用函数观点解决某些实际问题的思想.进一步体验数学来源于生活实际,激发学生学好数学服务社会的远大理想.通过各种真实、贴近生活的素材和问题情景,激发学生学习数学的热情和兴趣,体验事物的多面性和学会全面分析事物的必要性.教学重难点重点:反比例函数概念、图象和性质、实际问题和反比例函数.难点:反比例函数及其图象、性质的理解和掌握.知识结构课 题26.1.1 反比例函数课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)从现实情境和已知经验出发,讨论两个变量之间的相互关系,加深对概念的理解.(2)经历抽象反比例函数概念的过程,了解反比例函数的意义,理解反比例函数的概念.第 1 页
行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)之间的关系式.探索新知合
等式中,有你认识的函数吗?(学生思考后回答)(y=30x,C=4a)问题2:它们
是什么函数?(正比例函数)问题3:你
们还记得正比例函数的定义吗?一起来填空.形
如 的函数叫做正比例函数.其中x是 量,y是x的,k是 系数.自
变量x的取值范围是 . 函数v=,t=它们也
是同一类函数,小学时我们就已经学过,两个量的乘积
是一个不为零的常数,这两个量就成什么比例呢?(反比例)所以,我们叫这一类函数为反比例函数.认识一种新的知识,都
作探究函数y=30x,C=4a,vt=240,v=,t=.问题1:上面的
要从定义开始,让我们类比正比例函数的定义方法,给反比例函数
下个定义吧.反比例函数的一
般形式可以写成y=,形如y=(k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是
自变量,y是x的函数,k是比例系数,自变量x的取值范围是:x≠0的全体实数.小结:在反比例函数的定义中,有两点要提
醒大家注意:①k≠0,②x≠0(两个
不为零)分析例题:已知y与x成
反比例,当x=2时,y=6,(1)写出y和x之间的函数解析式;(2)当y=4时,求x的值.教师
讲解时要注重引导学生,同时要强调解题的规范性.续表第 2 页
(3)会求简单实际问题中的反比例函数解析式.2.过程与方法进一步提高探究问题、归纳问题的能力,能运用函数思想方法解决有关问题.3.情感、态度与价值观增强用函数观点思考问题的意识和习惯.教学重难点重点:反比例函数的概念.难点:反比例函数解析式的确定.教学活动设计二次设计课堂导入1.上海世博会吉祥物“海宝”的毛绒公仔,其中小号的市场单价为30元/个,买x个这样公仔需要y元,请写出y关于x的函数关系式.2.上海世博会的中国馆设计为一个正方形.正方形的周长C与边长a的关系式可表示为 . 3.老师驾车从太湖南岸的湖州来到美丽的金华,汽车旅程表显示为240 km,请你说出
注:(1)学生是
否深刻理解“y是x的反比例函数”这句话的意义.(2)学生是
否能够正确求解,书写是否规范.【
教师指导】1.易错
点:(1)在确定反比例函数解析式y=的时
候,一定要注意k≠0这一条件.(2)在解决有关正比例函数与反比例函数的
综合性问题时,容易忽略这两个函数的比例系数
不一定相等的情况.2.归纳小结:(1)y=中,自
变量x是分式的分母,当x=0时,分式无意义.因此,反比例函数中自变量x的
取值范围是不等于0的一切实数;(2)比例系数“k≠0”是反比例函数定义的一个重要
作探究重点关
组成部分;(3)函数y的
取值范围也是一切非零实数.3.方法
规律:(1)判断
一个函数是否是反比例函数,首先看看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的意义
去判断,其形式为y=(k为常数,k≠0)或y=kx-1(k为常数,k≠0).(2)确定反比例函数解析式的步
骤:①设:设出反比例函数解析式y=(k为常数,k≠0);②列:把
已知的x,y一对对应值代入解析式,得到关于k的方程;③解:解方程,求出k值;④代:将k值
代入所设的解析式即可.当
函数中①y=,②3xy=1,③y=,④y=,反比例函数有( ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.反比例函数y=中
堂训练1.下列
自变量x的取值范围是( )(A)x>0(B)x0时,图象在第一、
三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小;当k0时,在每一象限(第一、三象限)y随x的增大
而减小.但不能笼统地说当k>0时,y随x的增大而减小.同样,当k0)的图象大
致是图中的( )2.若
反比例函数y=的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在( ) (A)第一、二象
限(B)第一、三象限(C)第二、
三象限(D)第二、四象限3.已知反比例函数y=的图象在第一象
限内y随x的增大而减小,则n的取值范围
是 . 板书
设计反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象:双曲线既
是轴对称图形又是中心对称图形.第 6 页
探索新知合作探究反比例函数y=(k≠0)的图象关于
联系,体会数形结合及转化的思想方法.3.情感、态度与价值观体会
科学的思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生探索创新的精神.教学重难点重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用
它们解决一些综合问题.难点:学会从图象上分析、解决问题.教学活动设计二次设计课堂导入1.反比例函数y=的图象的特点是
什么?2.反比例函数y=的图象的增
减性是什么?第 7 页
2.反比例函数的性质教学反思课 题26.1.2 反比例函数的图象和性质课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质.2.过程与方法深刻领会函数解析式与函数图象之间的
例1】已知反比例函数的图象经过点A(2,6).(1)这个函数的图象分
布在哪些象限?y随x的增大如何变化?点B(3,4)、C-2,-4和D(2,5)是
否在这个函数图象上?在
此活动中教师应重点关注:①是
否理解反比例函数解析式的确定就是值的确定.②点是
否在图象上,只需将点的横纵坐标代入解析式,看是否符合解析式,即可判断.问题:【
作探究问题:【例2】如图是反比例函数y=的图象的一支,根据图象回答下列问题:图象的
另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?如
上图的图象上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2),如果x1>x2,那么y1和y2有怎样的大小关系?师生
行为:让学生先观察图象,然后结合反比例函数的图象完成此题.教师应给学生
充分的交流时间和空间.在此活动中教师应重点关注:①学生能
否从图象的特点得到(m-5)的符号;②学生能
否从图象的特点,结合函数的性质解决问题;③学生能
否独立思考问题.【
教师指导】1.易错
点:在比
较函数值的大小时,由于双曲线的两个分支位于不同的象限,往往忽略双曲线所
在的象限,只根据反比例函数的增减性进行判断.续表第 8 页
探索新知合
较函数值的大小比
较函数值的大小时,在同一象限上的点可以通过比较横坐标的大小来判断函数值的大小,在
不同象限上的点,依据与x轴的相对位置来进行函数值的大小比较.根据题目的特点,常用特
殊值和图象法来解决.3.方法
规律:反比例函数比例系数k的
几何意义①在反比例函数y=图象中
作探究2.归纳小结:比
任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成
的矩形的面积是定值|k|;②在反比例函数的图象上
任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成
的三角形的面积是|k|,且保持不变.当
点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都是反比例函数y=-图象上的点,并且y1BC>0,所以0BC>0,所以00.续表探索新知合
提醒:sin A,cos A,tan A都
是整体符号,不能写成sin ·A,cos ·A,tan ·A;当用三个字母表示
作探究2.易错角时,角的符号“∠”不能省略,如cos ∠ABC.3.方法
规律:(1)已知
直角三角形的任意两边长求锐角三角函数值时,首先画出符合题意的直角三角
形,然后根据勾股定理求出未知边长,最后结合定义求出三角函数值;(2)已知
直角三角形的一个锐角三角函数值求另外一个锐角的三角函数值时,先用一个
参数结合已知的三角函数值以及勾股定理表示各边长,再根据锐角三角函数的定义表示出要求的
锐角三角函数值.第 39 页
课堂导入教师提问:我们
图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是( ) (A)(B)(C)(D)2.如
图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( )(A)2(B)(C)(D)3.如
堂训练1.如
图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是 . 板书
设计
行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)之间的关系式.探索新知合
等式中,有你认识的函数吗?(学生思考后回答)(y=30x,C=4a)问题2:它们
是什么函数?(正比例函数)问题3:你
们还记得正比例函数的定义吗?一起来填空.形
如 的函数叫做正比例函数.其中x是 量,y是x的,k是 系数.自
变量x的取值范围是 . 函数v=,t=它们也
是同一类函数,小学时我们就已经学过,两个量的乘积
是一个不为零的常数,这两个量就成什么比例呢?(反比例)所以,我们叫这一类函数为反比例函数.认识一种新的知识,都
作探究函数y=30x,C=4a,vt=240,v=,t=.问题1:上面的
要从定义开始,让我们类比正比例函数的定义方法,给反比例函数
下个定义吧.反比例函数的一
般形式可以写成y=,形如y=(k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是
自变量,y是x的函数,k是比例系数,自变量x的取值范围是:x≠0的全体实数.小结:在反比例函数的定义中,有两点要提
醒大家注意:①k≠0,②x≠0(两个
不为零)分析例题:已知y与x成
反比例,当x=2时,y=6,(1)写出y和x之间的函数解析式;(2)当y=4时,求x的值.教师
讲解时要注重引导学生,同时要强调解题的规范性.续表第 2 页
(3)会求简单实际问题中的反比例函数解析式.2.过程与方法进一步提高探究问题、归纳问题的能力,能运用函数思想方法解决有关问题.3.情感、态度与价值观增强用函数观点思考问题的意识和习惯.教学重难点重点:反比例函数的概念.难点:反比例函数解析式的确定.教学活动设计二次设计课堂导入1.上海世博会吉祥物“海宝”的毛绒公仔,其中小号的市场单价为30元/个,买x个这样公仔需要y元,请写出y关于x的函数关系式.2.上海世博会的中国馆设计为一个正方形.正方形的周长C与边长a的关系式可表示为 . 3.老师驾车从太湖南岸的湖州来到美丽的金华,汽车旅程表显示为240 km,请你说出
注:(1)学生是
否深刻理解“y是x的反比例函数”这句话的意义.(2)学生是
否能够正确求解,书写是否规范.【
教师指导】1.易错
点:(1)在确定反比例函数解析式y=的时
候,一定要注意k≠0这一条件.(2)在解决有关正比例函数与反比例函数的
综合性问题时,容易忽略这两个函数的比例系数
不一定相等的情况.2.归纳小结:(1)y=中,自
变量x是分式的分母,当x=0时,分式无意义.因此,反比例函数中自变量x的
取值范围是不等于0的一切实数;(2)比例系数“k≠0”是反比例函数定义的一个重要
作探究重点关
组成部分;(3)函数y的
取值范围也是一切非零实数.3.方法
规律:(1)判断
一个函数是否是反比例函数,首先看看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的意义
去判断,其形式为y=(k为常数,k≠0)或y=kx-1(k为常数,k≠0).(2)确定反比例函数解析式的步
骤:①设:设出反比例函数解析式y=(k为常数,k≠0);②列:把
已知的x,y一对对应值代入解析式,得到关于k的方程;③解:解方程,求出k值;④代:将k值
代入所设的解析式即可.当
函数中①y=,②3xy=1,③y=,④y=,反比例函数有( ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.反比例函数y=中
堂训练1.下列
自变量x的取值范围是( )(A)x>0(B)x0时,图象在第一、
三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小;当k0时,在每一象限(第一、三象限)y随x的增大
而减小.但不能笼统地说当k>0时,y随x的增大而减小.同样,当k0)的图象大
致是图中的( )2.若
反比例函数y=的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在( ) (A)第一、二象
限(B)第一、三象限(C)第二、
三象限(D)第二、四象限3.已知反比例函数y=的图象在第一象
限内y随x的增大而减小,则n的取值范围
是 . 板书
设计反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象:双曲线既
是轴对称图形又是中心对称图形.第 6 页
探索新知合作探究反比例函数y=(k≠0)的图象关于
联系,体会数形结合及转化的思想方法.3.情感、态度与价值观体会
科学的思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生探索创新的精神.教学重难点重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用
它们解决一些综合问题.难点:学会从图象上分析、解决问题.教学活动设计二次设计课堂导入1.反比例函数y=的图象的特点是
什么?2.反比例函数y=的图象的增
减性是什么?第 7 页
2.反比例函数的性质教学反思课 题26.1.2 反比例函数的图象和性质课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质.2.过程与方法深刻领会函数解析式与函数图象之间的
例1】已知反比例函数的图象经过点A(2,6).(1)这个函数的图象分
布在哪些象限?y随x的增大如何变化?点B(3,4)、C-2,-4和D(2,5)是
否在这个函数图象上?在
此活动中教师应重点关注:①是
否理解反比例函数解析式的确定就是值的确定.②点是
否在图象上,只需将点的横纵坐标代入解析式,看是否符合解析式,即可判断.问题:【
作探究问题:【例2】如图是反比例函数y=的图象的一支,根据图象回答下列问题:图象的
另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?如
上图的图象上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2),如果x1>x2,那么y1和y2有怎样的大小关系?师生
行为:让学生先观察图象,然后结合反比例函数的图象完成此题.教师应给学生
充分的交流时间和空间.在此活动中教师应重点关注:①学生能
否从图象的特点得到(m-5)的符号;②学生能
否从图象的特点,结合函数的性质解决问题;③学生能
否独立思考问题.【
教师指导】1.易错
点:在比
较函数值的大小时,由于双曲线的两个分支位于不同的象限,往往忽略双曲线所
在的象限,只根据反比例函数的增减性进行判断.续表第 8 页
探索新知合
较函数值的大小比
较函数值的大小时,在同一象限上的点可以通过比较横坐标的大小来判断函数值的大小,在
不同象限上的点,依据与x轴的相对位置来进行函数值的大小比较.根据题目的特点,常用特
殊值和图象法来解决.3.方法
规律:反比例函数比例系数k的
几何意义①在反比例函数y=图象中
作探究2.归纳小结:比
任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成
的矩形的面积是定值|k|;②在反比例函数的图象上
任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成
的三角形的面积是|k|,且保持不变.当
点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都是反比例函数y=-图象上的点,并且y1BC>0,所以0BC>0,所以00.续表探索新知合
提醒:sin A,cos A,tan A都
是整体符号,不能写成sin ·A,cos ·A,tan ·A;当用三个字母表示
作探究2.易错角时,角的符号“∠”不能省略,如cos ∠ABC.3.方法
规律:(1)已知
直角三角形的任意两边长求锐角三角函数值时,首先画出符合题意的直角三角
形,然后根据勾股定理求出未知边长,最后结合定义求出三角函数值;(2)已知
直角三角形的一个锐角三角函数值求另外一个锐角的三角函数值时,先用一个
参数结合已知的三角函数值以及勾股定理表示各边长,再根据锐角三角函数的定义表示出要求的
锐角三角函数值.第 39 页
课堂导入教师提问:我们
图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是( ) (A)(B)(C)(D)2.如
图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( )(A)2(B)(C)(D)3.如
堂训练1.如
图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是 . 板书
设计
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