二次函数与一元二次方程教案本节课的主要内容是二次函数与一元二次方程之间的关系，要求用函数的观点看方程，渗透数形结合的思想。【教学目标】一、知识与技能1、 经历复习二次函数与一元二次方程关系的过程，进一步体会方程与函数之间的互相转化，能够用函数的观点看方程。2、 掌握二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，掌握何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根，并熟练的用于解题中。3、 掌握一元二次方程的根就是二次函数与y =m 交点的横坐标.二、 过程与方法1、经历复习二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的综合解题能力。2、通过观察二次函数与x 轴交 点的个数，讨论 一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同学习和讨论，培养合作交流意识.三、 情感态度与价值观1、 经历复习二次函数与一元二次方程的关系的过程，认识到事物的联系与转化，体验探究的乐趣。2、学会用辨证的观点看问题，具有初步的创新精神和实践能力.【教学重点】1.掌握方程与函数之间的联系.2. 掌握一元二次方程的实数根个数与二次函数与x轴公共点个数的对应关系，根据具体的函数图像解决有关问题； 3.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象与直线y=m公共点的横坐标,就是一元二次方程ax²+bx+c=m（a≠0）的根。【教学难点】1、掌握二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 探索方程与函数之间的联系的过程.2、掌握由方程根来求待定系数，或由待定系数的取值决定方程根的解题套路. 【教学方法】讲练法，教师引导启发，学生合作探索【教学过程】课前复习二次函数与一元二次方程的关系课前练习第 1 页


1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的公共点个数是（ ）个。A．3B．2C．1D．02. 二次函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是_______。3. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax²+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是__________。4.若函数y=mx2+4x+1的图象与x轴只有一个公共点，那么m的值为__________。知识小结：1.二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）的关系二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与一元二次方程（a≠0）图像与x轴的公共点判别式：△=b2-4acax²+bx+c=0的根与x轴有两个不同的公共点（x1，0）（x2，0）△ ＞0有两个不同的根x=x1，x=x2 与x轴有唯一个公共点（x0，0），这个公共点是顶点。△ =0有两个相等的根x1= x2= x0与x轴没有公共点△ ＜0没有实数根2.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象与直线y=m公共点的横坐标,就是一元二次方程ax²+bx+c=m（a≠0）的根。例题讲解例1.二次函数y=x²+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时，对应x的取值范围是__________。解题分析：由图象知抛物线顶点坐标为（-1，-4），二次项系数为1，直接写出抛物线的顶点式，再求出y=0时，对应x的值，最后求函数值y＜0时，对应x的取值范围．考点分析：本题考查了二次函数的顶点式，图象与x轴交点坐标的求法，函数值与对应自变量取值范围的关系，利用函数图像解题是关键，让学生进一步体会"数因形而直观,形因数而入微"．例2. “若二次函数y=ax²+bx+c的图象与直线y=h有两个公共点，则一元二次第 2 页2题图3题图


维的严密性是重点。例4. 已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点．（1）求m的值；（2）若P（n，y1），Q（2，y2）是二次函数y=x2+2x+m上
的两点，且y1＞y2，利用函数图像直接写出实数n的取值范围．解题分析：（1）根据题意
可得△=0，从而求出m的值；（2）根据抛物线的对
称性，当x=2或x=-4时，函数值相等，求出n的取值范围．考点分析：本题考查了抛物线和x轴的交点问题，二次函数的性质
以及二次函数图象
上点的坐标特点。 课
堂总结：1. 一个关系：二次函数图象与一元二次方程根的关系:二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象与x轴公共点的横坐标,就是一元二次方程（a≠0）的根。2. 两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想。3. 三种题
型：函数图象与x轴的交点、与平行于x轴直线y=m的交点、与坐标轴的交点。4. 特
别注意:形如y=ax²+bx+c的函数，根据题意看二次项系数a是否能为0，从而是
否需要一次函数和二次函数讨论课后练习1.已知二次函数y=-x²+2x+k+2与x轴的公共点有两个，（1）求k的取值范围；（2）
当k=1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；观察图象，
当x取何值时，y=0,y>0,y<0?2. 已知：函数y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)．若该函数图象是
开口向上的抛物线，与x轴相交于点A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴相交于点C，且x2－x1＝2．第 3 页
方程ax²+bx+c=h有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）A.m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b解题分析：依题意画出函数y=（x-a）（x-b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．考点分析：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论．例3. 已知：函数y＝ax2+(3a－1)x+2a+1(a为常数)．若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；解题分析：根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．此题要求学生自己画图分析，老师补充强调。考点分析：本题取自于2019荆州中考题，考查了二次函数图象与坐标轴交点的性质，内容比较常规基础．强调思