【复习提纲】八年级数学上册（下半学期）人教版第13章 轴对称13.4 最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题；②确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终点结点，求最短路径的问题；③确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；④全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”,“轴对称”，“平移”。【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。【解题思路】找对称点实现“折”转“直”， 近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。【十二个基本问题】






第十四章 整式乘除与因式分解一、幂的运算性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为：am·an=am+n(m、n为正整数)2、幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为：（am）n=amn (m、n为正整数)3、积的乘方等于各因式乘方的积。用字母表示为：（ab）n =anbn（n为正整数）4、同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为：am÷an=am－n（a≠0, m、n都是正整数，且m＞n）5、零指数幂的概念：任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1。用字母表示为：a0= 1（a≠0）6、负指数幂的概念：任何一个不等于零的数的－p （p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。二、整式乘除运算法则1、单项式的乘法法则单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、单项式与多项式的乘法法则单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把


致，这一点可用来检验是否漏
项。此外式提取，因式后，各因公应该是最简；式，即分解到“形”底如数多项式的第一项的系果是负的，一般要提出“－”
号，使括号的内第一项的系数是正的。（2）公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反
过来使式。常用的公式：①平方差公用：（a+b）（a-b）=a2－b2②完全平方公式:（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2－2ab+b2（3）十字相乘法3、十字相乘法第十
五本 分式一、分式的基章概念1、定义：一般
地，如，A果B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子B，为分母。2、与分式有关的
条件式分式①意义：分母不为0（B≠0）②分有无（义：分母为0意B=0）③分式
值：为0分子式0且分母不为0（A为0,B≠0）④分=值正或大于为0：分子
母同分号均（A、B大于0或，小A、B均者于0）⑤分式值为负或小0于：分子分母“号（异A＞0，B＜0”或
者＜A“0，B＞0”）⑥分式值分1：为子分母值相等（）AB=⑦值分式
为－1：分子分母值3为相反数（A+B=0）互、分式的基本性质二、分式的约分（1）定义：
根据本式的基分性质，把一个分式的分子约分母的公因式与去，叫做分式的约分。（2）步骤：把分式的分
子，分母因式分、解然后约去分子的分母与公因。（3）注意：①分式的分
子与分母为单项式时可直接约分，约去分子大分母系数的最、公约数，然
后约去分子、分母相同因式的最低次幂。②分子、分母若为多项式，约分时先对分子母、分
进行最式分解因再约分。三、，简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时做叫，最的分式简四、分式。
通分①定义：根据式分的基本性质，把几个异原母的分分分别化成与式来的分式相等的同分母分式，叫做分式的
通分。②分式的通分最主最的要骤是步简公分母的确定。最
简取分母：公各分母所有因式的最高这幂的积作次分母，公样的公分母叫做最简公分最母。确定
简最分母的公般步骤：A. 取各分母系数的一小单公倍；B. 数独出或的字母（现
所得的积相加。3、多项式与多项式的乘法法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。4、单项式的除法法则单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。5、多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。三、乘法公式1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2－b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。2、完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2－2ab+b2文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。四、因式分解1、定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。注意:（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。2、因式分解与整式乘法的内在的关系因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。3、因式分解的常用方法（1）提公因式法提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数——各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数一一相同字母的最低次数；提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式。注意：提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一


子；的幂的因式连同它的指数作为一个因式）C. 相同字母（或含有字母的式子
）的幂的因式取指数最大的；D. 保证凡式现的字母（或含有出母的字子。为底的幂的因式都要取）注意：分式的分母为多项式
时，一般应式因先分解。五1分式的四则运算与分式的乘方、、分式的乘除法法则3、分式的加、减、乘、除、乘方的
混合运算的运算顺序乘乘方、再先除、后加减，同级运算中，
谁在前先算谁，有括号括先算的号里面的，也意注要灵活，提高解题质量。注意：在运算
程过中，要明的确每一变形步目的和依据的注意，题解格式要范规不，要跳随便步，以有便查对
错误无或分析出错的原因。另外最加减后得出，结果一定要化成的简分式（或整式）。六
、整数指数幂1、引入整负数、零指数幂后，指数的取广范围值推就到了幂体实数，并且正整数全的法则对对负整数指数幂一
样适用。即：其
中m、n均七为数。整、科学记数法1、若个数x是0＜x＜1一的数，则可以表示为a×10n（1≤|a|＜10，即a的整数部分只有一
位）n为整数的，形式，n的确定从左第一个0起到第一个不为边0的数为止所有的0的个数的相反数。2、n的确定：n=比
整数部分的数
位的个数1少。八、分式方程方解的步骤（1的）去分母，把程最两边乘以各分母同的（公分母。高
生增根产的过程方（2））解整式程，得到整方式程的解。（3）检验，把所方的整式得
程的解代入最简分公母中。如果最简方分母为公，则原0无程解，这个未数知的值方是原
程的增根；如果最简母分公不为0,则是原方程的解。产生增根的条件是：①是得到的整式方
程的解；②入代最简后公分母值为0。九、列分式方程的基本步骤①审：仔细审等，找出题
量关系。②设：合理设未③数。知列：根据等量关系列出方程解组）。④解：（出方意程组）。注（
检验。⑤答：答题。
含有字母的式


大版第
五章 二元一次方程二1组、元一次方程含有两个未知数，并且所含未项数的知的次数都是1的整式方
程叫做二元一次方程。2、二元方次一程解适合的二一个元一次方
程的一组未知数的值二，做这个叫元一次方程二一个解。的3、元一次方程组含有两个未知方的两个一次数
程组所组的一方成程二叫做，元一次方程二。4、组元一次方程组的解二元
一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程二的解。5、组元一次方程解的组）（1法
代入（消元）法：将其中一个方程中的某个未一数用含有另个知未的数知代数式表示出
来，并代入另一个方程中，从而消去一个未二数知化，元一次方程为组一元方次一程方这种解，
程的方法称为元代入消法，简称代入（。（法）加减2元消：）法通过加式两相消其去
一个中未二知，这种解数元一次方程减的方法组做加叫元消，法简意称：减。注法加无是论
入消元代法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程谓”，所
之“消元。”6、一次函二与数元一次方程（组）的关系
北师


函当数图有象交点时，明说相应的二元一次方程组有解；当函平图象数直线）（行即无交
点时，说明相应的二元方一次程组无解。7、待先系数法：定设出函数表达式，��