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优翼九下数学教学课件（BS）1.2 30°、45°、60°角的三角函数值第一章 直角三角形的边角关系


导入新课猜谜语一对双胞胎，一个高，一个胖， 3个头，尖尖角，我们学习少不了. 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？情境引入


45°45°90°60°30°90°思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？


新课讲授 下图两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．30°60°45°45°合作探究30°、45°、60°角的三角函数值


2
2
23aaa-=
()
a1
o
\==sin30
22a
33a
o3tan3033aa
cos30==
22a
o==
设 30° 所对的直角边长为 a ，那么斜边长为 2a另一条直角边长＝30°


o
a1
o
cos60==
22a
3a
tan603==o
a
22
aaa+=2
o
a2
a
o2sin4522aa\==
cos45==o
tan451==
2
2a
a
设两条直角边长为 a ，则斜边长＝60°45°33sin6022aa\==


1
3
2
2
2
2
1
2
3
2
2
2
3
1
3
3
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 30°45°60°sin acos atan a归纳总结三角函数锐角 a


1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）2. 观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性：当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .增大（或减小）减小（或增大）两点反思


1
2
3
∠A，则 tanA =____.练一练
3
1. 如果∠α 是等边三角形的一个内角，则 cosα = ____. 2. 在 △ABC 中，∠C = 90°，若∠B = 2


2
2
��
12
31
��
=+=+-1
��
��
��
22
22��
��
31
12+
=+-1
=0.
=.
44
2
例1 计算:(1) sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.注意事项:sin260° 表示 (sin60°)2， cos260° 表示 (cos60°)2解:(1) sin30°+cos45°(2) sin260°+cos260°-tan45°典例精析


cos45
tan45
sin45
o
cos45
o
-tan45
o
sin45
2
2

13




22
22


1
22
1.求下列各式的值：(1) cos260°＋sin260° (2) 解： (1) cos260°＋sin260°＝1(2)＝0针对训练


1
2
3
6045
sinA
30�
sinA
sinA
2
2
2
1
3
2
30
45
cosA60
cosA
cosA
2
2
2
3
30
tanA
45
tanA1
60
tanA3
3
填一填∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=逆向思维由特殊三角函数值确定锐角度数


△ABC 中，∠C ＝ 90°， ， 求∠A 的度数．解： 如图，ABC典例精析
AB6，BC3
ABBC==63，
BC32
\===sinA
AB2
6
 36A45
例2： 如图，在 Rt


AOOB3
==3,
tana=
OBOB
 60.
a3
1. 如图，已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 倍，求 α .解： 在图中，ABO练一练2. sinα＜cosα，则锐角 α 取值范围（ ）A. 30°＜α ＜45° B. 0°＜α ＜ 45°C. 45°＜α ＜ 60° D. 0°＜α ＜ 90°B


例3 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5 m ,当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到 0.01m ).特殊三角函数值的运用


根据题意可知，
1
�=�=DAO6.030��
2
OD=2.5m
OC
Qcos30,�=
OD
3
��==\ODOC)2mc.65.1(5os.203�
2
AC = 2.5 - 2.165 ≈ 0.34 (m).
约为 0.34 m.ACOBD解:如图，
∴最高位置与最低位置的高度差


程 x2+2x -3 = 0的一个
根，求 2sin2α + cos2α - tan（α+15°）的值．解：解方
程 x2 + 2x -3 =0，得 x1= 1，x2= -3，
∵tanα＞0，∴ tanα = 1，∴ α = 45°.
2sin2α + cos2α - tan（α+15°） = 2sin245° + cos245°- tan60°322
����
13
22
=+-=-3313.
=�+-�233
����
����
2222
����
例4 已知 α 为锐角，且 tanα 是方


堂练习2. 在 △ABC 中，若 ，则
应是（　　
3
）A．40° B．30° C．20° D．10° DD3. 已知 cosα ＜ ，锐角 α 取值范围（ ）A．60°＜α ＜ 90 ° B．0°＜ α ＜ 60 °C．30°＜α ＜ 90 ° D．0°＜ α ＜ 30 °A
2
��
13
sincos0AB-+-=
��
��
22
��
∠C =（　　）A．30° B．60° C．90° D．120° 1. tan(α+20°)＝1，锐角 α 的度数
1
2
当


33
13
312
12
32
22
313
3
1
2
231
4. 求下列各式的值：（1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°解：(1)1－2 sin30°cos30°(2)3tan30°－tan45°+2sin60°



cos601
（3）

1sin60tan30

cos601
(3) 

1sin60tan30
1
1
2
=+
33
1+
23
233
=2


AC23.
CD1
1
∵，sinA==
CD233.
AC2
2
AD33
QcosA==，
AD233.
AC2
2
2
CD3
BDDABA53.2
BD32.
QtanB==，
BD23
5. 如图，在 △ABC 中，∠A = 30°， 求AB.ABCD解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，∠A = 30°，3tan232BAC==，，


BC,AC,==721
△ABC 中，∠C ＝ 90°， 求 ∠A、∠B 的度数．BAC解： 由
勾股定理得：
22
22
CABACB7728212

7
BC71
sinA===
AB2
27
21
A=30°B = 90°－
∠ A = 90°－30°= 60°
6. 在 Rt


明站在操场上离旗杆 20 m 处看杆顶的仰角为 45°(如图所示) ，若小
明双眼离地面 1.60 m ，你能帮助
小明求出旗杆 AB 的高度吗？= 20+1.6 = 21.6 (m).解：由已知得 DC = EB = 20 m.
AC
，
∵tanADC ∠= tan45° =
DC
，ACDCװ=tan45
+=+=װBCBACA21.654nat0
DABE1.6 m20 m45°C7.小


堂小结30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 30° 45° 60°sin αcos αtan α在0°～90°内：对于 sinα 与 tanα ，角度
1
2
3
2
22
1
3
2
2
22
3
1
3
3
越大，函数值
也越大；对于 cosα ，角度越大，函数值越小.锐角 α三角函数
课




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