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优翼九下数学教学课件（BS）*3.3 垂径定理第三章 圆


导入新课问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？情境引入


��ACBC=
��ADBD=
��
��
BD
ACBC
AD
新课讲授·OABDPC问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?线段: AP=BP弧: 理由如下：把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP与 BP 重合， 和 , 与 重合．垂径定理及其推论


， 证明：连接
��
��ACBC=
ADBD=
OA、OB、CA、CB，则 OA=OB.即
△AOB 是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，∠AOC=
∠BOC.从而
∠AOD=∠BOD.想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
��ACBC\=，��ADBD=
·OABDCP已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP，


��,ACBC=��.ADBD=
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. ∵ CD 是直径，CD⊥AB，(条件)∴ AP=BP， (结论)归纳总结推导格式：


想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOEABDCOEABOCDEOABC


垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOC归纳总结ABO DC


如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索


②CD⊥AB，垂足为E
①CD是直径
����ACBCADBD==，
④
③AE=BE证明猜想
DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：


�
��
�
ADBD
BC
AC
∠BEO=90°. ∴CD⊥AB.证明举例∴△AOE≌△BOE（SSS）（2）由垂径定理可得 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？
����
ACBCADBD==,.
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE解：（1）连接AO，BO，则 AO=BO.又∵AE=BE，∴∠AEO=


思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD圆的两条直径是互相平分的.归纳总结特别说明：


垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧


E，若 ⊙O 的半径为 10 cm，OE=6 cm，则
AB= cm.·OABE解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
22
AEOAOE=-
22
=-=1068
∴AB = 2AE = 16 cm.16∴cm.典例精析垂径定理及其推论的计算
例1 如图，OE⊥AB 于


CE⊥AB 于D，DC＝2 cm，求半径
OC 的长.·OABECD解：连接
OA，∵ CE⊥AB于D，∴设
11
DBAA=�==c.)m8(4
22
OC = x cm，则 OD= x-2，
根据勾股定理，得解得
x = 5.即半径
OC 的长为 5 cm.x2 = 42 + ( x - 2)2，
例2 如图，⊙O 的弦AB＝8 cm ，直径


�
�
BD.
AC
＝ 证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，
∴MN⊥CD.则（垂直弦的直径平分弦所对的弧） ∴
����
AMBMCMDM==,
����AMCMBMDM-=-
��.ACBD=
.MCDABON例3：已知：⊙O中弦 AB∥CD,求证：


际应用
一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实
试


AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为
O，半径为 R.经
过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为
D，与弧 AB 交于点C，则D 是
AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就
是拱高.∴AB=37 m，CD=7.23 m.
1
∴AD= AB=18.5 m，OD = OC-CD = R - 7.23 .
2
ABOCD解：如图，用


222
OAADOD=+
约为 27.3 m.R2 = 18.52 + ( R - 7.23 )2 ∵
解得R ≈ 27.3（m）.即主桥拱半径


公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=90 m.求这段
弯路的半径.解:连接 OC. ●
弯路的半径为 R m,则 OF=(R-90)m.根据勾股
11
┗设这段
QOECD^,=�==\DCFC).m(003060
22
222
OCDEF
OCCFOF=+,
定理，得解得 R = 545.∴这段
2
22
RR=+-30090.
()
弯路的半径约为 545 m.
例4 如图，一条


对训练
、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则
46
弓形的高为＿＿＿____＿. C DCBOADOAB图 a图 b2 cm或12 cm 针
如图 a


及垂径定理时辅助线的添加方法弦 a，弦心距 d，弓
弓形高 h 的计算题，
常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，
利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉
形中重要数量关系ABC DOhrd d+h=r OABC·
a
形高 h，半径 r之间
2
2
a
��
22
有以下关系：弓
rd=+
��
2
��
在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离），


习1. 已知 ⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则
此圆的半径为 cm.5 2. ⊙O 的直径 AB = 20 cm， ∠BAC = 30°，则弦AC = cm.
103
当堂练


四边形 ADOE 是
正方形．D·OABCE证明：∴四边
QBAAABCODACOE^^^ ，，，
ooo
\=�=�=�AADOOEAED0.09 99 0，，
形 ADOE 为矩形，又∵AC=AB，
11
AAEACDAB==， .
22
∴AE=AD.∴四边
形 ADOE 为正方形.
3. 如图，在⊙O中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC 于E，求证


O 为圆心的两个同心圆中，大
圆的弦AB交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关
系？为什么？理由：过
：AC=BD
O 作 OE⊥AB，垂足为 E， 则
AE＝BE，CE＝DE.
∴AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.O.ACDBE解
4. 已知：如图，在以


△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点
C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点
D，则 BD 的长为______．23
类讨论题）已知 ☉O 的半径为10 cm，弦MNEF
∥,且 MN=12 cm，EF=16 cm，则弦 MN 和 EF 之间
的距离为 .14 cm或2 cm5. 如图，在
6.（分


某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB = 6 m，
弓形的高 EF = 2 m，现设计安装玻璃，请
帮工程师求出弧 AB 所在圆 O 的半径．解：由题
意得，AB= 6 m，OE⊥AB于F，
1
∴AF= AB= 3 m， ∵设
2134
AB 所在圆 O 的半径为 r，且 EF= 2 m，
∴AO = r，OF = r - 2， 在
Rt△AOF 中，由勾股定理可知：AO 2 = AF 2 + OF 2， 即 r2 = 32 +（
13
r - 2 ）2 解得 r= m． 即AB所在圆O的半径为 m．
4
7. 如图，


提升：如图，⊙O 的直径为10，弦
AB = 8 ,P 为 AB 上的一个
动点，那么 OP 长的取值范围 .3 cm≤OP≤5 cmBAOP
拓展


堂小结垂径定理内
容推论辅助
③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件
就可以推出其它三个结论（“知
二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.两条
线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; 辅助线：连半径，作弦心距构造
Rt△ 利用勾股定理计算
式图形圆心到弦的距离
或建立方程.基本图形及变
课




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