第1节　任意角和弧度制及三角函数的概念考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝ rad；1 rad＝°弧长公式弧长l＝| α | r扇形面积公式S＝lr＝| α | r 23.任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y余弦x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x正切叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上


的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.(　　)(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√解析　(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角.2.(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案　AC


解析　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α＜n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°＜α＜n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角.故选AC.3.(2021·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为，则(　　)A.sin α＝ B.cos 2α＝－C.sin 2α＝－ D.tan 2α＝－答案　B解析　由三角函数的定义，可得cos α＝，则sin α＝±，cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝±，tan 2α＝±，所以选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)A.cos 2α>0 B.cos 2α0 D.sin 2α0，∴sin 2α＝2sin αcos α0，解得m＝.角度2　三角函数值符号的


＝－cos ，所以cos <0，综
上可知，为第二象限角.(3)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为，则角α的最小正角为(　　)A. B. C. D.答案　D解析　角α的终边上一点M的坐标为，即M，故点M在第四象限，且tan α＝＝－1，则角α的最小正角为，故选D.1.下列
与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋(k∈Z)答案　C解析　与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，
但是角度制与弧度制不能混用，
排除A、B，易知D错误，C正确.2.给
出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确
命题的个数为(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案　C解析　①中－是第三象限角，
从而①错.②中＝π＋，则是第三象限角，
从而②正确.③中－400°＝－360°－40°，
从而③正确.④中－315°＝－360°＋45°，
从而④正确.
又


又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－.4.(多选)在
平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边
经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)A. B.cos α－sin αC.sin αcos α D.sin α＋cos α答案　AB解析　由题意知sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0，则
＞0，故A正确；cos α－sin α＞0，故B正确；sin αcos α＜0，故C错
误；sin α＋cos α的符号不确定，故D错
误，故选AB.5.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　角α的取值集合为∪＝.6.(多选)下列结论
中正确的是(　　)A.若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝B.若α是第一象限角，则为第一或第三象限角C.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度D.若0＜α＜，则sin α＜tan α答案　BCD解析　当k＝－1时，P(－3，－4)，则sin α＝－，故A错
误；∵2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，∴kπ＜＜kπ＋，k∈Z，∴为第一或第三象限角，故B
3.已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　)A.－ B. C.－ D.－答案　D解析　因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P，所以θ是第二象限角，


算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今
有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？[三四]又
有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？翻译
为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？[三四]又
有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？则
下列说法正确的是(　　)A.问题[三三]中扇形的面积为240平
方步B.问题[三四]中扇形的面积为
平方步C.问题[三三]中扇形的面积为60平
方步D.问题[三四]中扇形的面积为
平方步答案　B解析　依
题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120平方步，问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝
平方步.8.在
平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x2＋y2＝1上的四
段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在AB上，tan α＞sin α，不满足；在CD上，tan α＞sin α，不满足；在EF上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且cos α＞tan α，满足；在GH上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足.9.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.答案　120°或－240°解析　因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
正确；|α|＝＝＝1，故C正确；∵0＜α＜，∴sin α＜tan α⇔sin α＜⇔cos α＜1，故D正确.7.《九章


平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________.答案　(－1，)解析　设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标为(－1，).13.(多选)(2021·山东新高
考模拟)如图，A，B是单位圆上的两个质
点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角
速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度
按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)A.经
过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3B.经
过 s后，扇形AOB的弧长为C.经
过 s后，扇形AOB的面积为D.经
过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇答案　ABD解析　经
过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经
过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；经
过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.10.－2 022°角是第________象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________.答案　二　138°　－222°解析　∵－2 022°＝－6×360°＋138°，∴－2 022°角的终边与138°角的终边相同.∴－2 022°角是第二象限角.与－2 022°角终边相同的最小正角是138°.又138°－360°＝－222°，故与－2 022°角终边相同的最大负角是－222°.11.(2022·南京质检)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2，－1)在终边上，则cos 2α＝________.答案　解析　由题意可得sin α＝＝－，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝.12.在


经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝(s)，故D正确.14.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点
逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　　)A.0.6 B.0.8 C.－0.6 D.－0.8答案　B解析　已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tan α＝－，则tan α＝＝－，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角.由l绕原点
逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝＋α，所以cos∠BOx＝cos＝－sin α，即＝－，解得x＝0.8.15.一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案　解析　设扇形半径为R，内切圆半径为r.则(R－r)sin＝r，即R＝r.又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝πr2，所以＝.16.如图，在
平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上
沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐��