第二十一章　一元二次方程21.3　实际问题与一元二次方程教材知识全解核心素养全解知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题知识点2 典型问题——传播问题知识点3 典型问题——平均增长（降低）率问题知识点4 典型问题——几何图形面积问题


知识点对应·全练版 P教材知识全解1列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题111.列一元二次方程解应用题的一般步骤审读懂题目,弄清题意,明确已知量、未知量,以及它们之间的关系设设出未知数列找出相等关系,列出方程解解方程,求出未知数的值验检验方程的解是否符合实际意义答写出答案


1
2
知识点对应·全练版 P2.常见实际问题的数量关系、相等关系常见题型常用数量关系、相等关系数字问题若一个两位数十位、个位上的数字分别为a、b,则这个两位数表示为10a+b;若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c,则这个三位数表示为100a+10b+c单、双循环问题设参赛队伍有n个,则单循环问题中总的比赛场数为 n(n-1);双循环问题中总的比赛场数为n(n-1)1列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题11


售价进-价
利润
进价
进价
知识点对应·全练版 P销售利润问题利润=售价-进价;利润率= ×100%= ×100%;售价=进价×(1+利润率);总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量存款利息问题本息和=本金+利息;利息=本金×利率×存期111列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题


知识点对应·全练版 P (2022山东青岛期中)某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品,如果每盒的售价为60元,每天可以销售200盒,通过市场调查发现,每盒售价每提高1元,每天少卖出10盒.该村办企业要想每天获得2 240元利润,该有机产品的售价应定为多少元/盒?例1 设该有机产品的售价定为x元/盒,由题意,得(x-50)[200-10(x-60)]=2 240.解得x1=66,x2=64.答:该有机产品的售价应定为66元/盒或64元/盒.解：111列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题


知识点对应·全练版 P解决此类问题时,要注意售价和销售数量都是变化的.易错警示111列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题


知识点对应·全练版 P常见传播问题细胞分裂、信息传播等等量关系传染源数量+第一轮被传染的数量+第二轮被传染的数量=第二轮传染后的总数11典型问题——传播问题2


知识点对应·全练版 P (2020贵州黔西南州中考)有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了　    　    个人.例210 设每轮传染中平均每人传染了x人.依题意,得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121,解得x1=10,x2=-12(舍去),即每轮传染中平均每人传染了10个人.解：11典型问题——传播问题2


知识点对应·全练版 Pa为起始量,b为终止量,n为增长(或降低)的次数,当平均增长率为x时,平均增长率公式为a(1+x)n=b;当平均降低率为x时,平均降低率公式为a(1-x)n=b.11典型问题——平均增长(降低)率问题3


管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,3月份和5月份的产蛋量分别是2.5万千克
与3.6万千克,若该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同,鸡蛋的市场价
格为15元/千克.(1)求养殖场蛋鸡产蛋量的
月增长率;(2)求养殖场6月份
的鸡蛋产值(单位:万元).例311典型问题——平均增长(降低)率问题3
知识点对应·全练版 P (2022广西河池期中)在“乡村振兴”工作中,某养殖场从今年起采用“场内+农户”的养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学


月增长率为x,由题意,得2.5(1+x)2=3.6,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答:养殖场蛋鸡产蛋量的
月增长率为20%.(2)由题意,得15×3.6×(1+20%)=64.8.答:养殖场6月份
的鸡蛋产值是64.8万元.解：11典型问题——平均增长(降低)率问题3
知识点对应·全练版 P (1)设养殖场蛋鸡产蛋量的


法归纳11典型问题——平均增长(降低)率问题3
基数为a,平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)的次数为2,增长(或降低)后的量为b,则等式为a(1+x)2=b(或a(1-x)2=b).方
知识点对应·全练版 P在平均增长(或降低)率的问题中,若


法规
则图形利用规则图形的面积、体积、周长公式及勾股定
理等知识求解不规
则图形采用割补、平移或旋转等方法,将其转化为规则图形,再根据
面积(体积)间的关系求解12典型问题——几何图形面积问题4
知识点对应·全练版 P分类常用解


李沧期中)如图,某小区居委会打算把一块
长20 m,宽8 m的长方形空地修建成一个矩形花圃,供居民休闲散
步,若三面修成宽度相等的花砖路,中间花圃的面积是126 m2.请计算花砖路
面的宽度.  例412典型问题——几何图形面积问题4
知识点对应·全练版 P (2022山东青岛


花砖路面的宽度为x m,则中间花圃的长为(20-2x)m,宽为(8-x)m,由题意,得(20-2x)(8-x)=126,整理
得x2-18x+17=0,解得x1=1,x2=17.8-
∵x>0,∴x9,
∴x=16不符合题意,舍去,∴x=1.答:小路
的宽应为1 m.解：解决
甬道问题,可以用平移的知识将分散的图形合
并在一起,然后利用面积公式列出方程.解题总结12典型问题——几何图形面积问题4
知识点对应·全练版 P 设


建模——销售中的一元二次方程素养解读　　数学
建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方
法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主
要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分
析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最
终解决实际问题.
核心素养全解数学


建模——销售中的一元二次方程
建立一元二次方程模型解决销售利润问题、几何图形面积问题、平均增长(或降低)率问题是常见的实际问题,也是中考
命题的热点内容,解题时,要通过分析建立相应的一元二次方程模型,将
实际问题转化为数学问题求解.数学
　　


建模——销售中的一元二次方程
剖析 (2022山西
左权月考)为了保护人民群众生命安全,减少交
通事故,自2021年6月1日起,某市市民骑车出行必须严格遵守
“一盔一带”规定.某头盔经销商4至6月份统计,某品牌头盔4月份
销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售量的
月增长率相同.(1)求该品
牌头盔销售量的月增长率;(2)若此种
头盔的进价为30元/个,经测算,在新市场中,当售价为40元/个时,月
典例
销售量为600个,若在原售价的基础上每个上例数学


建模——销售中的一元二次方程
月销售量将减少5个,为使月销售利润达到10 000元,而且尽
可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元? (1)设该品
牌头盔销售量的月增长率为x,依题意,得150(1+x)2=216,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不
合题意,舍去).答:该品
牌头盔销售量的月增长率为20%.解：数学
涨0.5元,则


建模——销售中的一元二次方程
牌头盔的实际售价为y元,依题意,得(y-30) =10 000,整理,得y2-130y+4 000=0,解得y1=80,y2=50,因
��
y-40
��6005-�
��
0.5
��
为要尽可能让顾客得到实惠,所以取y=50.答:该品
牌头盔的实际售价应定为50元.列方程解决实际问题时,认
识方程模型是解题的关键.先
审题,明确已知量、未知量,并通过列表格、画图等方
法寻找和发现数量关系、等量关系,再列出方程求解.数学
(2)设该品


建模——销售中的一元二次方程
拨起始量终止量增长率次数相等关系(方程)abxna(1+x)n=b150216x2150(1+x)2=216(2)本
点
小题是“平均增长(或降低)率”问题,这是常见的一元二次方程问题,关系如
下:
小题是“销量随售价变化,已知利润求售价”问题,实
质上为一元二次方程问题,关系如下:数学
(1)本


建模——销售中的一元二次方程
拨 每个利润(元)月
点
销售量涨
价前40-30600涨
价后y-30600- ×5相等关系与方程每个利润×月
y40-y4060050.5-��-�����
0.5
销售量=月利润,(y-30) =10 000数学


第二十一章　一元二次方程21.3　实际问题与一元二次方程