22.3　实际问题与二次函数教材知识全解核心素养全解知识点1 利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题知识点2 二次函数的最值在销售问题中的应用知识点3 利用二次函数解抛物线形问题第二十二章　二次函数


知识点对应·全练版 P教材知识全解1利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题321.用二次函数解决实际问题的一般步骤:步骤说明审仔细审题,理清题意设找出问题中的变量和常量,以及它们之间的关系,设出适当的变量列建立二次函数模型,即根据题中的数量关系列出二次函数的解析式解依据已知条件,借助二次函数的图象和性质求解实际问题


知识点对应·全练版 P检检验结果,得出符合实际意义的结论答根据题意写出答案2.利用二次函数解决面积最值问题求图形的面积时,常会涉及线段与线段之间的关系,通常是根据图形中线段的关系,找到相应线段的长与面积之间的函数关系,将其转化为二次函数问题,然后利用二次函数的图象与性质来解决.规则图形的面积可由相应面积公式直接列式;不规则图形的面积可采用割补法,将不规则图形通过分割或补形成规则图形,再求它们的面积的和或差.1利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题32


①若a=30,求养鸡场的面积的最大值;②若a=20,求养鸡场的面积的最大值.(2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为270 m2,求a的值.  例11利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题32
知识点对应·全练版 P (2022福建福州鼓楼月考)如图,一个矩形养鸡场,一边靠墙(墙长为a m),另外三边用长为48 m的篱笆围成.(1)


48-x
2
481122-21x
2
知识点对应·全练版 P (1)设矩形中平行于墙的边长为x m,则其邻边长为 m,由题意可知x≤a,设矩形的面积为S m2,则S=x· =- x2+24x=- (x-24)2+288,∵- 24时,S随x的增大而减小.解：1利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题32


知识点对应·全练版 P①a=30时,x≤a即x≤30,∴当x=24时,面积最大,最大值为288 m2.②a=20时,x≤a即x≤20,∴当x=20时,面积最大,最大值为280 m2.(2)令S=270,得- (x-24)2+288=270,解得x=18或x=30,由x≤a可知,当x=30时,a≥30,由(1)知,此时面积最大值在x=24时取得,面积最大值为288 m2,1利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题3212


知识点对应·全练版 P故舍去x=30.∴x=18时面积取大,结合函数增减性可得a=18.几何问题中与面积最值有关的问题的解题思路:(1)分析问题,找到与面积相关的一个变量;(2)建立面积与该变量的二次函数模型;(3)求出自变量的取值范围,用配方法或利用顶点坐标公式求面积的最值.方法归纳1利用二次函数解决实际生活问题的一般方法及几何图形的最值问题32


利润
成本
知识点对应·全练版 P常见问题销售问题中的最大利润、最低成本等问题数量关系利润=售价-成本,总利润=每件商品的利润×销售量,利润率= ×100%32二次函数的最值在销售问题中的应用2


知识点对应·全练版 P (2021辽宁抚顺中考)某厂家生产一批遮阳伞,每个遮阳伞的成本价是20元,试销售时发现:遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间是一次函数关系,当销售单价为28元时,每天的销售量为260个;当销售单价为30元时,每天的销售量为240个.(1)求遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)设遮阳伞每天的销售利润为w(元),当销售单价定为多少元时,才能使每天的销售利润最大?最大利润是多少元?例232二次函数的最值在销售问题中的应用2


26028,=+bkk=-10,
��
��
24030,=+bkb=540,
��
∴当x=37时,w有最大值,为2 890.答:当销售单价定为37元时,才能使每天的销售利润最大,最大利润是2 890元.解：32二次函数的最值在销售问题中的应用2
知识点对应·全练版 P (1)设函数关系式为y=kx+b,由题意,得 解得 ∴函数关系式为y=-10x+540.(2)由题意,得w=(x-20)y=(x-20)(-10x+540)=-10(x-37)2+2 890,∵-10600,


情形具体方法抛物线形建
形桥洞、隧道、拱形门窗角坐标系,将抛物线形
筑物拱等(1)建立适当的平面直状的图形放置在坐标系中;(2)从
中跳跃轨迹、球
已知和图象中获得求二次函数
路线问题运动员空类运行的轨迹、喷头喷
表达式所需要的条件;(3)利用
出的水的轨迹等
待定系数法求出抛物线的
表达式;(4)运
用已求出的抛物线的表达式去解决相关问题抛物线形运动
知识点对应·全练版 P利用二次函数解抛物线形问题333 常见


把抛物线的顶点作为坐标系的原点建立平面直
角坐标系,由此,用待定系数法求二次函数的
表达式时,可设表达式为y=ax2(a≠0)利用二次函数解抛物线形问题333
知识点对应·全练版 P解题技巧一般


绵阳涪城期中)公园要建造一个如图1的圆形喷水池,在
水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水
面中心,OA=0.8米,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流
在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任
一平面上抛物线路径如图2所示.为使水流形状较为漂亮,设
计成水流在与OA水平距离为1米时,达到距水面最大高度1.44米(不
计其他因素).则水池的半径至少要　　　    米,才能使
知识点对应·全练版 P (2022四川
喷出的水流不致落到池外.例42.5利用二次函数解抛物线形问题333


知识点对应·全练版 P 图1 图2利用二次函数解抛物线形问题333


抛物线的顶点坐标是(1,1.44),并且经过点(0,0.8),设抛物线解析式为y=a(x-1)2+1.44,则a(0-1)2+1.44=0.8,解得a=-0.64,
∴右侧的抛物线解析式为y=-0.64(x-1)2+1.44,当y=0时,-0.64(x-1)2+1.44=0,解得x1=2.5,x2=-0.5(舍去),
∴水池的半径至
少为2.5米.解： 利用二次函数解决抛物线形问题时,首先
要把实际问题中的相应数据
正确地落实到平面直角坐标系中的抛物线上,然后求解得出抛物线的解析式,通过解析式来解决
测量问题、最值问题等.方法归纳利用二次函数解抛物线形问题333
知识点对应·全练版 P 根据题意,右侧


观想象——“函数图象”架起方程(不等式)通往函数的“桥梁”素养解
读　　直
观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态
与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主
要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与
运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联
系;构建数学问题的模型,探索解决问题的思路.
核心素养全解直


观想象——“函数图象”架起方程(不等式)通往函数的“桥梁”
学数学的核心概念,是中学数学的基础,是学好数
学的关键.以函数为主线可以将很多数学内容“串”起来:函数、不等式、方
程……　　
“学函数,用图象”具体体现为:(1)用图象,从“形”的角度刻画
和理解函数及其相关概念;(2)用图象,架起方程(不等式)通
往函数的“桥梁”等.直
　　函数是中


观想象——“函数图象”架起方程(不等式)通往函数的“桥梁”
例剖析    例 (2021山东烟台
中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴
交于点C.下列结论:①ac>0;
②当x>0时,y随x的增大而增大;3
③a+c=0;④a+b≥am2+bm.其中
正确的有 (　    )A.1个　
    B.2个　    C.3个　    D.4个B直
典


观想象——“函数图象”架起方程(不等式)通往函数的“桥梁”
特征分析结论①开口方向,与y轴的
交点的位置∵该函数图象开口向下,∴a0,∴ac1时,y随x的增大而减小错误直
-+13
2
根据题图分析如下:解：序号相关


观想象——“函数图象”架起方程(不等式)通往函数的“桥梁”
b
上x=-1对应的点的∴b=-2a>0,又∵x=-1时,y=0,确④最值∵当x=1时,函数取得最大值a+b+c,
2a
∴a-b+c=3a+c=0正
位置∵- =1,
确综上,正
∴a+b+c≥am2+bm+c,∴a+b≥am2+bm正
确的结论有2个.故选B直
③对称轴,图象


观想象——“函数图象”架起方程(不等式)通往函数的“桥梁”
拨直
点
地,当式子中缺少a或b时,常利用对称轴为直线x=- 得出a与b的关系,进
b
而消元替换;当式子
2a
中缺少c时,常利用图象上的特殊点得出相应关系,进
而消元替换.
一般


22.3　实际问题与二次函数第二十二章　二次函数