24.4　弧长和扇形面积教材知识全解核心素养全解知识点1 弧长公式及其应用知识点2 扇形面积公式及其应用知识点3 与圆锥有关的计算第二十四章　圆


nRπ
180
πR
2Rπ
180
360
nRπ
180
知识点对应·全练版 P教材知识全解1弧长公式及其应用75弧长公式在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l= 推导过程在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,即 ,于是n°的圆心角所对的弧长为l= 


☉O中,将劣弧AB沿弦AB翻折,使折叠后的 恰好与OA、OB相切,则劣弧AB的长为 (　    )A. π　　B. π　　C. π　　D. π例1B1弧长公式及其应用75
︵
AB
55
352546
知识点对应·全练版 P (2020四川达州中考)如图,在半径为5的


︵
∵OA=OB=O'A=O'B,
AB
∴四边形OAO'B为菱形.∵折叠后的 与OA、OB相切,
∴O'A⊥OA,O'B⊥OB,∴四边形OAO'B为正方形,∴∠AOB=90°,
905��52p
180
∴劣弧AB的长= = π.故选B.解： 在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量.
示1弧长公式及其应用75
提
温馨
知识点对应·全练版 P 如图,作O点关于直线AB的对称点O',连接O'A、O'B,


知识点对应·全练版 P     矩形ABCD的边AB=4,AD=3,现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右做无滑动地翻滚,当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时(如图所示),顶点A所经过的路线长是　　    .  例26π1弧长公式及其应用75


∵AB=4,AD=3,∴A'M= =5,∴顶点A所经过的路线长为 + + =6π.  解：一动点绕固定点旋转一定的角度,运动的路线是一段弧,固定点为圆心,两点之间的连线为半径.学法指导1弧长公式及其应用75
22
34+904180
p�905p�903p�
180180
知识点对应·全练版 P 如图,


2
nRπ1
22
360
πR
360
2
nRπ
nRπ11
360180
22
知识点对应·全练版 P扇形由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形扇形面积半径为R,圆心角为n°的扇形面积:S扇形= 或S扇形= lR(l为扇形的弧长)推导过程在半径为R的圆中,因为圆心角为360°的扇形的面积就是圆面积S=πR2,所以圆心角是1°的扇形的面积是 ,于是圆心角为n°的扇形的面积为S扇形= = · R= lR扇形面积公式及其应用752


△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD为半径画一弧,交AC于点E,若∠A=60°,
p
∠ABC=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为　　　    .  例3扇形面积公式及其应用75249
知识点对应·全练版 P (2020内蒙古呼和浩特中考)如图,


∵∠A=60°,∠ABC=100°,∴∠C=20°,∵D为BC的中点,
∴BD=DC= BC=2,∵DE=DB,
∴DE=DC=2,∴∠DEC=∠C=20°,∴∠BDE=40°,
2
402p�4p
∴扇形BDE的面积= = .解：  计算扇形面积时,已知圆心角度数要选用公式S扇形= ,已知弧长则选用S扇形= lR.
3609
示扇形面积公式及其应用75212
提
温馨
2
nRp12
360
知识点对应·全练版 P


1
2
知识点对应·全练版 P圆锥的相关概念圆锥的母线连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线圆锥的高连接圆锥的顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高圆锥与扇形的联系沿着圆锥的一条母线把一个圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,这个扇形的半径等于圆锥的母线长圆锥的侧面积和全面积设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则S侧= l·2πr=πrl,S全=S侧+S底=πrl+πr276与圆锥有关的计算3


知识点对应·全练版 P (2020湖南邵阳中考)图①是山东舰舰徽的构图,采用航母45°破浪而出的角度,展现山东舰作为中国首艘国产航母横空出世的气势,将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形,则是一条长为10π的弧,若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图(如图②所示),则该圆锥的母线AB长为　　　    .例41376与圆锥有关的计算3


10p
∴OB= =5.在Rt△AOB中,AB= = =13,所以该圆锥的母线AB长为13.解：在解决与圆锥侧面有关的计算时,要抓住两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图(扇形)的半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图(扇形)的弧长.
2p22
22
AOBO+125+
拨76与圆锥有关的计算3
点
知识点对应·全练版 P ∵圆锥侧面展开后扇形的弧长是10π,


知识点对应·全练版 P 　如图所示的圆锥中,底面半径是4 cm,母线长为12 cm,C为母线PB中点,现在有一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面爬行到C点,则蚂蚁在圆锥侧面爬行的最短路程为　　　    cm.  例5676与圆锥有关的计算33


np�12
180
∴n=120,即圆锥侧面展开图的圆心角是120°,∴∠APB=60°.∵PA=PB,
∴△PAB是等边三角形,∵C是PB中点,∴AC⊥PB,∴∠ACP=90°.∵AP=12,
∴PC=6,解：76与圆锥有关的计算3
知识点对应·全练版 P 作圆锥的侧面展开图如图所示,连接AC,则AC的长即为最短路程.设圆锥侧面展开图的圆心角为n°,由题意得 =2π×4,


APPC-33
拨76与圆锥有关的计算322
点
知识点对应·全练版 P∴AC= =6 ,即最短路程是6  cm.  在解决与立体图形有关的最短路程问题时,可以将立体图形转化为平面图形,利用“两点之间,线段最短”画出路径,再借助勾股定理等求解.


途径:“连半径,证垂直”素养解
读逻辑推理是指从一
些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.主要
包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有
归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有
演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学
严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交
流的基本思维品质.
核心素养全解逻辑推理——证明切线的主要


途径:“连半径,证垂直”
章中,利用圆的相关性质证明线段相等、角相等、进行线段和角的相关计算,判
定圆的切线,利用切线的性质进行相关计算等问题中都
培养了学生的逻辑推理素养.逻辑推理——证明切线的主要
本


途径:“连半径,证垂直”
例剖析    例 (2021湖南
张家界中考)如图,在Rt△AOB中,∠ABO=90°,∠OAB=30°,以点O为圆心,OB为半径的圆交BO的
延长线于点C,过点C作OA的平行线,交
☉O于点D,连接AD.(1)求证:AD为
☉O的切线;(2)若OB=2,求 的长.逻辑推理——证明切线的主要
︵
CD
典


途径:“连半径,证垂直”
∴∠ODC=∠C.∵∠OAB=30°,
∠B=90°,∴∠AOB=60°.∵CD∥AO,
∴∠C=∠AOB=60°,∠AOD=∠ODC,∴∠AOD=∠AOB=60°.又
∵OB=OD,AO=AO,∴△AOB≌△AOD(SAS),∴∠ADO=
∠ABO=90°,即AD⊥OD,解：逻辑推理——证明切线的主要
(1)证明:连接OD.∵OC=OD,


途径:“连半径,证垂直”
∵OD是半径,∴AD是☉O的切线. (2)
∵∠BOD=120°,∴∠COD=60°,又OB=2,
︵602180
p�2p
∴ 的长= = .逻辑推理——证明切线的主要
CD
3
又


途径:“连半径,证垂直”
拨逻辑推理——证明切线的主要
点
☉O有公共点D,可“连半径,证垂直”,思
考过程如下:
(1)已知AD与


途径:“连半径,证垂直”
拨逻辑推理——证明切线的主要
点
︵
考过程如下:
CD
(2)利用弧长公式求 的长,思


24.4　弧长和扇形面积第二十四章　圆