第三节　直接证明和间接证明


必备知识—基础落实关键能力—考点突破


·最新考纲·1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．


·考向预测·考情分析：直接证明与间接证明是高中数学的重要推理方法，它们仍是高考的考点，题型将是选择或填空题．学科素养：通过直接证明和间接证明的应用考查逻辑推理的核心素养．


必备知识—基础落实


一、必记3个知识点1．直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从____推导到____的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从____追溯到产生这一结果的____的思维方法特点从“____”看“____”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的____条件从“____”看“____”，逐步靠拢“____”，其逐步推理，实际上是要寻找它的____条件原因结果结果原因已知可知必要未知需知已知充分


2.间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去____________(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明非Q是______的，从而断定结论Q是________的，这种证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取___________ (n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对____________________都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．假设Q不成立矛盾错误正确第一个值n0n＝k＋1从n0开始的所有正整数n


二、必明2个常用结论1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．2．利用反证法证明的特点：要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．


三、必练2类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)×××


(二)教材改编2．[选修1－2·P42练习T2改编]若P＝，Q＝(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　) A．P＞Q B．P＝QC.P＜Q D．不能确定 答案：A解析：假设P＞Q，只需P2＞Q2，即2a＋13＋2＞2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40.因为42＞40成立，所以P＞Q成立． 


3．[选修1－2·P52T2改编]－2与的大小关系是__________________． －2＞ 解析：假设－2＞，由分析法可得，要证－2＞，只需证＞＋2，即证13＋2＞13＋4，即＞2.因为42＞40，所以－2＞成立． 


关键能力—考点突破


考点一　综合法的应用　[综合性] [例1]　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1. 


一题多变 (变问题)若例1条件不变，证明：a2＋b2＋c2≥. 证明：因为a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.因为2ab≤a2＋b2，2bc≤b2＋c2，2ac≤a2＋c2，当且仅当“a＝b＝c”时等号成立，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥． 


反思感悟　综合法证题的思路与方法


边分别ba，为，c，已知sin A sin B＋sin B sin C＋cos 2B＝1.(1)求证：a，b，c成等
差(2)若C＝，求证：数列；5a＝3b. 证明：(1)由已知得sin A sin B＋sin B sin C＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，由正
弦，有a＋c＝2b定理，即a，b，c成等
差(2)由C＝，c数列．＝2b－a及余弦
定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以＝，即5a＝3b. 
【对点训练】在△ABC中，角A，B，C的对


故需证(＋2)2≥(只a＋)2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，从而只需证2(a＋)，即证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即证a2＋≥2，而上述不等
式显然成立，故原不等式成立． 
考点二　分析法的应用　[综合性] [例2]　已知a＞0，证明：≥a＋－2. 证明：要证 ≥a＋－2，只需证 ＋2≥a＋.因为a＞0，


果索”因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本
身已经成立的定理、性质经已或证明成立的结论等．通常
采用“欲的—只需证—已知证”格式，在表达中要注意叙述形式
的规范．
反思感悟　分析法的证题思路分析法的证题思路是“执


于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋＋xy，只要证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只要证明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，只要证明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，只要证明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.由
于x≥1，y≥1，上式显然成立，所以原命题成立． 
【对点训练】设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋＋xy. 证明：由


零b数a，实，c构成公差不为0的等差数列，求证：不可能成等
差数列． 证明：假设成等
差ab列，则＝，所以2ac＝bc＋数，①又a，b，c成等
差数列且bd≠0，所以2公差＝a＋c，②所以
把②代入①，得2ac＝b(a＋c)＝b·2b，所以b2＝ac，③由②平
方，得4b2＝(a＋c)2，④把③代入④，得4ac＝(a＋c)2，所以(a－c)2＝0，所以a＝c.代入②，得b＝a，
故a＝b＝c，所以数列a，b，c的
公差已0，这与为知矛盾，所以不可能成等
差数列． 
考点三　反证法的应用　[综合性] [例3]　已知非


真；(2)归
谬——把“反设”作推条件，经过一系列正确的为理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而
肯原结论成立．应用反证法时，当定原命题的结论的反面有多种情
况时，要对结论的反面的
每一种情况都进行讨，从而论达到否定结论的目的．
反思感悟　反证法证明问题的一般步骤(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为


式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立． 
【对点训练】设a＞0，b＞0，且a＋b＝，证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立． 证明：由a＋b＝＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.(1)由基本不等


四数学归纳法的应用　[　综合性] 角
度1　用数学归纳法证明不等[例4]　用数学归纳法证明：1＋≤式1＋＋…＋＋n(n∈N*)． 
考点


式的适用范围及关键(1)适
用范围：当遇等与正整数n有到的不关式证明时，若用其他方法不
易证，则可考虑．数学归纳法应用(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用
比法法、综合较、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等
式、不等式的性质等巧放缩技，使问题得以简化.
反思感悟　数学归纳法证明不等


度2　归纳——猜想——证明[例5]　设
函)f(x数＝ln (1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导
函g．(1)令数1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的
表达式；
角


成立，求实数a的取值范围．
(2)若f(x)≥ag(x)恒


—证明问题的一般步骤第一步：
计算数列前几项或特殊情况，观察规猜律测数列的通项或一般结论；第二步：
验一般结论对第一个值n0证(n0∈N*)成立；第三步：假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立；第
四步：下结论，由上可知结论对n意n≥任0，n∈N*成立．
反思感悟　归纳—猜想


切大的于1自然数，不等((1＋)式1＋)·…·(1＋)＞均成立． 
【对点训练】1．数学归纳法证明：对一


项n列{a数}中，对于一切n∈N*均有≤a的n－an＋1成立．(1)证明：数列{an}中的
任意一项都小1； 于证明：(1)由≤an－an＋1，得.因为在数列{an}中，an＞0，所以an＋1＞0，所以＞0，所以0＜an＜1.故
的列{an}中数任意一项都小于1. 
2．已知正


你知结论． 证明：(2)由(1)的0＜a1＜1＝，那么
＝－(a1－)2＋＜，由此
猜想an＜.下面用数学归纳法证明：当n≥2，且n∈N*时
猜想n①当正确．＝2时已证；②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时，有ak＜成立，
那么＝－(ak－)2＋＜－()2＋＝＝＜＝，所以当n＝k＋1时，
猜想正确．综上所述，对
于一n∈N*切，都有an＜. 
(2)探究an与的大小关系，并证明