第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数


必备知识—基础落实关键能力—考点突破


·最新考纲·1．了解任意角的概念和弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．


·考向预测· 考情分析：任意角三角函数的定义及应用是高考考查的热点，题型以选择题或填空题为主． 学科素养：通过弧度制及三角函数定义的应用考查数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养．


必备知识—基础落实


一、必记3个知识点1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[提醒]　终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 端点正角负角零角象限角


2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝ rad　1 rad＝________弧长公式弧长l＝______扇形面积公式S＝______＝________角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式弧长l＝______扇形面积公式S＝______＝________[提醒]　利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．半径长° |α|rlr |α|r2 


�
� 正正正正负负负负正负正负
3．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么____叫做α的正弦，记作sin α____叫做α的余弦，记作cos α_____叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ________________________Ⅱ________________________Ⅲ________________________Ⅳ________________________口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦yx


三角函数线有向线段_____为正弦线有向线段______为余弦线有向线段_____为正切线MPOMAT


二、必明3个常用结论1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 


3．象限角与轴线角(1)象限角


(2)轴线角


三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)小于90°的角是锐角．(　　)(2)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．(　　)(3)若sin α＝sin ，则α＝.(　　)(4)－300°角与60°角的终边相同．(　　)(5)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B.(　　) ××××√


(二)教材改编2．[必修4·P5练习T3改编]角－870°的终边所在的象限是(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C解析：－870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的终边相同，所以－870°的终边在第三象限．


3．[必修4·P20习题A组T2改编]已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－，则m的值为(　　)A．－ B． C．－ D． 答案：A解析：由已知得m0，所以＝－1－(－1)＋1＝1. 


�����
� ： 解析�单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×＝，由弧度数的定义得＝，所以l＝，S扇形＝lr＝×1＝. 
5．(公式中角的单位不是度而是弧度)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为______，由该弧及半径围成的扇形的面积为________．


(四)走进高考6．[2020·全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则(　　)A．cos 2α>0    B．cos 2α0     D．sin 2α0，∴sin 2α＝2sin α cos α0)”，其长是变，求解？解析：扇形
周2C＝长R＋l＝2R＋αR，所以R＝，所以S扇＝α·R2＝α·＝·＝·.当且
仅当α2＝4，时，扇形面积有最即α＝2大值. 
一题


　弧长、扇形面积问题的解题1略(策)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求
扇形面积的关键是求三形的圆心角扇半径、弧长、个量中的任意
两个量弧[提醒]　运用．度制下有关弧长、扇形面积公式的
前提是角的度量单位为弧度制． 
反思感悟


对点训练1．】[2022·扬州市
测如试]图，曲为段AB是一段半径线R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两
点间距离为(　　) A.的R　　　 B．R　　　C．R　　　D．2R 答案：C解析：设所对的圆心角为α，则由题意，得αR＝R，所以α＝，所以AB＝2R sin ＝2R sin ＝2R×＝R. 
【


�
� 解析：因为扇形的弧长为，所以面积＝×r，解得r＝2.由扇形的弧长为＝rθ＝2θ，解得θ＝. 
2．已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝____，圆心角θ＝_____． 2


高三模拟]如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由
两内在同一平面段的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内
堤岸米弧所在圆的半径圆30为，两堤岸连的接点A，B间的距离为30米
，则该月牙潭__积为的面______平方米． 450解析：如
图是内堤岸弧圆所在圆，由题意OA＝OB＝30，AB＝30，所以OA⊥OB，弦AB上方
弓面积为形S2＝π×302－×30×30＝225π－450，所以所
求S积为面＝π×(15)2－S2＝225π－(225π－450)＝450. 
3.[2022·湖南永州市


高三α拟]已知角模终边经)点P(－1，2)，则cos α＝(　　过A．　　B．－　　C．　　D．－ 答案：D解析：(1)由三角函数定义cos α＝＝－. 
考点三　任意角三角函数的定义及应用　[应用性]角度1　三角函数的定义[例2]　(1)[2022·宁夏


东广州市高三第拟]已知模二象限角θ的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且cos θ＋3sin θ＝0，则3a－b＝(　　)A．－7    B．－5    C．5    D．7答案：D解析： (2)由cos θ＋3sin θ＝0得：tan θ＝＝－，由三角函数定义知：tan θ＝－a＝＝－，解得：a＝，b＝－6，∴3a－b＝1＋6＝7. 
(2)[2022·广


　三角函数定义应用角(1)已知策略α的终边与单位圆的交点
坐标，可直接根据角三函数的定义
求．(2)已知角解α终边上一点P的
坐标，则可先求出P点到原点的距离r，
然后用三角函数的定义求知(3)已解．角α的终边所在的直线方
程，则可先设出上边终一点的坐标，
求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．(4)已知角α的
某三角函数值(含参)或角数α终边上一点P的坐标(含参
数)，可根据三角函数的定义列方程求参(值．数5)已知角α的终边所在的直线方
程或角α的大小，根据三角函数的定义可
求上α终边角特某定点的坐标．
反思感悟


明市盘龙月是]若，则θ考(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角 答案：B解析：(1)因为sin 2θ＝2sin θcos θ0，所以θ是第二象限角．
角度2　三角函数值符号的判断[例3]　(1)[2022·昆


(2)已知α为第二象限角，则的值是(　　)A．3    B．－3    C．1    D．－12 答案：C解析：(2)由题意，＝，因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos αcos x成立的的x取_范围为值_________．
图所示，找出(0在，2π)内，xsin x＝cos x的使值，sin ＝cos ＝，sin ＝cos ＝－.根据
三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈. 
3．在(0，2π)内，