第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例


必备知识—基础落实关键能力—考点突破微专题


·最新考纲·1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．


·考向预测·考情分析：平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．学科素养：通过平面向量数量积的计算及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养．


必备知识—基础落实


一、必记5个知识点1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则________就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b______；若θ＝180°，则a与b______；若θ＝90°，则a与b______．[提醒]　只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． ∠AOB同向反向垂直


2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量________叫做a与b的数量积，记作a·b投影________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积|a||b|cos θ|a||b|cos θ|b|cos θ|b|cos θ


�·� 
√
�·�
|�||�| |a||b|
3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)a⊥b⇔________．(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝_____或者|a|＝________．(4)cos θ＝________．(5)a·b≤________．a·b＝0|a|2


��+��
����
��� x1x2�＋y1y2＝0
�+��+�
√√
����
4．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝________＝________．(3)分配律：(a＋b)·c＝________．5．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则数量积a·b＝________模|a|＝________夹角cos θ＝________________向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔____________λ(a·b)a·(λb)a·c＋b·cx1x2＋y1y2　 


二、必明5个常用结论1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；(2)|a±b|＝＝；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 


三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)两个向量的数量积是一个向量．(　　)(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．(　　)(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)××××××


(二)教材改编2．[必修4·P107例6改编]设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为(　　)A．－4　　　B．4 C．　　　D．－ 答案：A解析：因为a·b＝5×(－6)－7t＝－2，所以t＝－4.


3．[必修4·P108习题T6改编]已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　)A． B．C． D． 答案：D解析：cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，则θ＝. 


(三)易错易混4．(不理解向量的几何意义致误)已知＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量在方向上的投影为________；向量在方向上的投影为_______． － － 解析：由点C(2，0)，D(3，－1)，得＝(1，－1)，所以向量在方向上的投影为||cos 〈〉＝＝－，向量在方向上的投影为||cos 〈〉＝＝－. 


5．(向量数量积的性质不熟致误)若平面四边形ABCD满足＝0，()·＝0，则该四边形一定是________． 菱形解析：由四边形ABCD满足＝0知，四边形ABCD为平行四边形．又由()·＝0，即·＝0，可知该平行四边形的对角线互相垂直，所以该四边形一定是菱形． 


�
� 解析：因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得，3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝. 
(四)走进高考6．[2021·全国乙卷]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝____．


关键能力—考点突破


月]已知向量a，考b的夹角为120°，||a且＝1，|b|＝2，则(a－3b)·(2a＋b)＝(　　)A．－8　　　B．－5　　　C．2　　　D．19答案：B解析：∵a·b＝1×2×＝－1.∴(a－3b)·(2a＋b)＝2|a|2－5a·b－3|b|2＝2×1－5×(－1)－3×4＝－5. 
考点一　平面向量数量积的运算　[基础性]1．[2022·河南高三


县育远学才校高三开考学试]正四面ABCD体棱D为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)A．a2 B．a2 C．a2 长．a2 答案：C解析：因为点E，F分别是BC，AD的中点，所以·＝)·＝··)＝(a·a·cos ＋a·a·cos )＝a2. 
2．[2022·定


且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为(　　)A． B．－ C．－ D．－ 答案：D解析：由a＝(1，2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在a方向上的投影为＝－.故
选D. 
3．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，


� －1解析：方法一　
√
如图，在正方形ABCD中，由＝)得点P为BC的中点，∴||＝·＝·()＝ ··＝·＝1×1×cos 180°＝－1. 方法二　∵＝)，∴P为BC的中点，以A为
原点，建立如图标示的平面直角坐所系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴||＝＝＝(0，－1)，＝(－2，1)，∴·＝(0，－1)·(－2，1)＝－1. 
4．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝)，则||＝______；·＝________． 


思感悟定计算向量数量积的三个角度(1)　义法：已知向量的模与夹角时，可直
接使义数量积的定用求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基
底，示的向量的数量积时表应用相应运算律，最
转化终量积为基向量的数，进而择坐．(3)坐标法：若向量选求解标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.
反


中学高三月a]已知非零向量考，b的夹角为60°，
且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝(　　)A．　　　B．1　　　C．　　　D．2 答案：A解析：因为非零向量a，b的夹角为60°，
且|b|＝1，所以a·b＝|a|·|b|cos 60°＝|a|，又因为|2a－b|＝1，所以(2a－b)2＝1，即4a2＋b2－4a·b＝1，所以4|a|2＋|b|2－4×|a|＝1，
整4|a理可得：|2－2|a|＝0，因为|a|≠0，解得：|a|＝. 
考点二　平面向量数量积的应用　[综合性]角度1　平面向量的模[例1]　(1)[2022·苏州


南平市监]测已知单位向量e1，e2的夹角为，则|e1－λe2|的最
小B为(　　)A． 值． C． D． 答案：C解析： (2)因为e1·e2＝|cos ＝－，所以|e1－λe2|2＝－2λe1·e2＝λ2＋λ＋1＝＋，所以|e1－λe2|≥. 
(2)[2022·福建


思感悟　1．求向量模长的方法利
握数量积求模是数量积的重要应用，要掌用此类问题的处2方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；(理)|a±b|＝＝；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.2．求向量模的最值(范围)的方法(1)代
数法，先把所个的模表示成某求变量的函数，再方求最值的用法求解；(2)几何法(数形结合法)，
弄清何求的模表示的几所意义，结合动点表示的
图形求解；(3)利
用绝式值三角不等对||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(取值范围)． 
反


选D. 
角度2　平面向量的夹角[例2]　(1)[2020·全国卷Ⅲ]已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)A．－ B．－ C． D． 答案：D解析：(1)由题意得cos 〈a，a＋b〉＝＝＝＝.故


高三联]已知向量a＝(－考1，2)，单位向量b满足b·(a＋b)＝，则向量a，b的夹角θ为________．   解析：(2)由b·(a＋b)＝得＝，∵|b|＝1，∴a·b＝－，又|a|＝，∴cos θ＝－，
而0≤θ≤π，∴向量a，b的夹角θ＝. 
(2)[2022·山西省八校


思感悟向量求　夹角问题的方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，
需求aa·b及|出|，|b|或得
出它们之间关系，由cos θ的＝求得．(2)坐标法：若已知a＝(x1，y1)与b(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π].(3)解三角形法：可以
把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解． 
反


故选D.
角度3　平面向量的垂直[例3]　(1)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与b垂直，则λ＝(　　)A．－1 B．1 C．－2 D．2答案：D解析：由已知得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，因为λa－b与b垂直，所以(λa－b)·b＝0, 即(λ－4，－3λ＋2)·(4，－2)＝0，所以4λ－16＋6λ－4＝0，解得λ＝2，


且||＝3，||＝2.若＝λ，
�
且⊥，则实数λ的值为________． 
�� 解析：(2)因为⊥，所以·＝0.又＝λ＝，所以(λ)·()＝0，即(λ－1)·－λ＋＝0，所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×2×3×－9λ＋4＝0.解得λ＝. 
(2)已知向量与的夹角为120°，


思感悟　有关平面向量垂直的两类题型
反


对点训练．1】[2022·合
肥市第六中学高三模]若单位向量a，b满足拟(a－2b)·(a＋b)＝－，则|a－b|等于(　　)A．1 B． C． D． 答案��