集合与简易逻辑、推理证明：
一、理解集合中的有关概念
1、集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性。
2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题。
注意：区分集合中元素的形式。如：；；

3示：用数集的符号表、常自然数集； 正集整数、； 整数集； 有理数集； 实数
集； 复数集
4、集合与元素的关系用符号，表示。
5、空集是指不含任何元素的集合。 (、和的区别；0与三者间的关系)
二、集合间的关系及其运算（能利用数轴或韦恩图表表达集合的关系及运算。）
1、符号“”是表示元素与集合之间关系的，在立体几何中的有来描述点与直线（面）的关系；
符号“、”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的、体现面与直线(面)的关系 。
2、；；
3、① 交换律：； ；
② 结合律：；
③ 分配律：；
④ ； ； ； ；
； ；
；
⑤ ；
三、集合中元素的个数的计算：
1、若集合中有个元素，则集合数为所的同的子集个有不，所有真子集的个数是，所有
非空真子集的个数是
2、中元素的个数的计算公式为：；
例：50名学生做物理、化学实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两
种实验都做得错误的有41人，问这两种实验都做对的有几人。
四、全称量词“一切“所有的”、“任意一个”、：”、“每一个”、“任给”（含有全称量词的命题叫做全称命
题）
存在量词：“存在一个”、“至少一个”、“有些”、 “有一个”、“对某些”、“有的”（含有存在量词的




命题叫做特称命题）
全称命题的否定：的否定：
特称命题的否定：的否定：
五、原命题、逆否命题、否命题、逆命题的关系如图
原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价
否命题和命题的否定不是同一概念，如果原命题是“若则”，那么命题的否定是“若则表
示命题，即只否定结论。
六、简单命题和复合命题
逻辑连结词“或”、“且”、“非”（ “且”、“或”、“非”与集合的“并”、、“交”、“补”有联系）
“对于”、“ “、” ”形式的复合命题用口诀：“有真或为真、两真且才真、真非假、
假非真”
“、充分条件、必要条件、充要条件的概念（判断步骤：七能否推出”以及“能否推出”、区分
出和是条件还是结论）
满足条件，满足条件，
若，则是的充分非必要条件（从集合与集合的关系上看）；
若，则是的必要非充分条件（从集合与集合的关系上看）；
若，则是的充要条件（从集合与集合的关系上看）；
若，则是件既非充分又非必要条的（从集合与集合的关系上看
）。
八、合情推理与演绎推理
1、归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
2、类比推理是由特殊到特殊的推理
3析、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提
出猜想的推理，我们统称为合情推理。
4、演绎推是由一般到特殊的推理（其模式是“三段论”）
九、直接证明与间接证明
1、综合法：执因索果
2、分析法：执果索因（在使用分析法时，要注意表达“要证……，只须证明……”）
3、在解决具问题时，分析法与综合法要结合起来使用，也就是说“两头凑”会使问题轻易解决。
4、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立
；：假设结论反面成立步骤从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，从而肯
定结论正确。
矛盾的来源：与原命题的条件矛盾；导出与假设相矛盾的命题；导出一个恒假命题。
十、数学归纳法：
1值数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种、法，若是起始方，则是使命题成立的最小正整




数。
2、用数学归纳法证明题目时，其步骤如下：
① 归纳奠基：当时，验证命题成立；
② ：纳递推归假设当（）时，命题成立，推证时，命题也成立，从
而推出对于所有的正整数命题均成立（在证。明过程中，一定要用到归纳递推，否则就不是数学归
纳法
例：数学归纳法证明贝努利不等式：（、，为大于1的正整数）
第二章 函数
一、映射与函数：
1、映射的概念：设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的元素，在集合中
都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做映射，记作
① 映射的三要素：集合、，以及从到的对应法则，三者缺一不可。
② 映射是一种特殊的对应，映射中的集合、可以是数集也可以是点集或其它集合，这两个集合有
先后次序，从到的映射与从到的映射是截然不同的。
③ 只有“多对一”或“一对一”的对应，能够成映射，一对多对应不能构成映射。
2、函数的概念：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。
二、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
1、相同函数的判断方法：①相同的定义域；②相同的对应法则 (两点必须同时具备)
2、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常
叫做分段函数。
3、函数的表示法：图象法、列表法、解析法
4、函数解析式的求法： ① （拼凑）定义法； ② 换元法；③ 待定系数法；④ 赋值法；⑤ 消去法；⑥ 利
用函数的性质
例（1）已知，求的解析式。
（2）如果为一次函数且，求的解析式
（3）设是上的函数，满足，对任意实数、，有
，求
（4）设是定义在上的一个函数，且有，求
（5）已知函数是以2为周期的偶函数，当时，，求在的解




析式。
（6）已知函数是奇函数且当，时，，求当时，的解析式。
5、函数定义域的求法：
① 当函数用解析式给出时，函数的定义域是使解析式有意义的实数的集合：分式的分母不等
于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零；指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等
于1
② 当函数用图象给出时，函数的定义域是指图象在轴投影所覆盖的实数的集合
③ 当函数用表格给出时，函数的定义哉是指表格中实数的集合
④ 对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定；
⑤ 已知原函数的定义域求复合函数的定义域；
⑥ 已知复合函数的定义域求原函数的定义域；
⑦ 已知一复合函数的定义域求另一复合函数的定义域；
⑧ 已知函数定义域求参数的取值范围；
例（1）已知函数的定义域是，求的定义域。
（2）已知，求的定义域
（3）已知函数的定义域是，求函数的定义域
（4）已知函数的定义域是，求实数的取值范围。
6、函数值域的求法：
① 观察法：即通过观察函数式直接得出函数的值域，此时经常需要运用如下结论：
（） ()
② 其本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式求值域；
例：求函数的值域
③ 利用函数的单调性：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
例：求函数的值域
例：是定义在上的函数，且满足下列两个条件：
（Ⅰ）对于任意的、，有




（Ⅱ）当时，，且，求函数在上的最大值和最小
值。
④ 分离常数法：对于形如用函数，我们常采的将其分离出一个常数，即函数式变形为：
（、为常数），故函数的值域为
例：求函数的值域
⑤ 配方法：对于含二次三项式的函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
的形式来求值域。
例：（1）求函数 的值域；
（2）求函数的值域
⑥ 换元法：对一些无理函数或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些
方法可间接地把原函数的值域求出。（实质上是通过变量代换转化为能求值域的函数，采用化归思想）
例：的值域
⑦ 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
例：求函数的值域
⑧ 方程法（判别式法）：利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法。
我们知道函数的值域是由函数的定义域与对应法则所确定的，根据这一道理，我们可将函数式看作关
于的方程，再由方程有解的条件求出的范围；或解出再由函数的定义对的限制条件，建立关于
的不等式，从而可求出函数的值域，这种方法称之为方程法。
例：求函数的值域
⑨ 数形结合：根据函数的几何图形，利用数形结合的方法来求值域。
例（1）求函数的值域。
（2）实数、满足，，求及
⑩ 导函数法：
例：求函数（）的值域
⑾ 已知函数值域求参数取值范围
例：已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围
例：已知函数，




（Ⅰ）若函数的定义域为，求实数的取值范围。
（Ⅱ）若函数的值域为，求实数的取值范围。
三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性
1、单调性：（注意定义是相对于某个具体的区间而言。）
① 定义：如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个变量、，当时，都有
，则称在这个区间上是增函数。
如果对于属于定义域�