经全国中小学教材审定委员会2005年初审通过
BE�P�
A�/���rP`-/�:
普通高中课程标准实验教科书

数学数学
数学
�

�

��
4
－
4
$�2�� �D�/�
�3 ���!
4Ó8F D���{
Ł湖南教育出版社


普通高中课程标准实验教科书
数学

选修
4-4
坐标系与参数方程


主编张景中黄楚芳
!!!!
执行主编李尚志
!
本册主编王树禾
!
编委郑志明查建国
!!!!
蒋星耀
书书书


前言
!
坐标系种种和美丽曲线的数学描述
形自然恩赐我们众多漂亮的图大!人类在生活"生产与科学研
!!
究当中又创造了不少美妙的曲线#世纪以前!学数家们梦寐以求
!"
线代数的方法来描述与定量研讨形形色色的曲用人真不愧为万物
#
之灵!前们的我人如笛卡儿"家费等杰出数学马!创立解析几何!
建立平面与空间的直角坐标系!使得几何学代数化的理想得以实现
#
坐标系是现代数学活动的舞台!但有的曲线在直角坐标系中不便于
解析表达!坐类另标系应运而生!有要主!平面"标坐极系和!空间"
柱坐标系与球坐标系象于给定的对何对几#选择适合于它的坐标
#
事是至关重要的系#选得不好#繁使研究工作别扭会琐$选得好#
则使研究工作简洁顺利
#
我们已经知道#在直角坐标系中当#用有序的两个实数表示平
面上点的位置#位有序的三个实用表示空间点的数置#进而有平面
曲线的方程和空间曲线的方程
#
外平面直角坐标系与空间直角坐标系之除#是否还有其他坐标
系呢%有点书重本讲授极坐标系#也讲到空间的柱坐标系和球坐
#
标系何用不同几采意义的参照物#可以建立各种坐标系$不同的
#
坐标系有各自的优缺点#可坐标极以把一些曲线表达得十分简洁#
给某些曲线的表达与研究带来诸多方便
#
有些平面曲线的方程可以在平面直角坐标系中写成动点的纵坐
标是动点横坐标程函数或称曲的的普通方线但也存在大量的
"#
!
美丽而有用的曲线#不们的方程它便于甚至不可能写成普通方程#
组以通过一种叫作参数的中介而写成方程可#如果把这种参数记成
#则曲线的方程组形如
#
!"#
#"$#
!
"
!"
#
$!$#
"
!!!!!
书书书


前言
!
这种方程组就是曲线的参数方程
#
一数方程是描述曲线的重要工具之参#参数方程描写曲线有许
多方便之处#程们将采用参数方我来讨论许多有用又有趣的重要
曲线
#
本课程的重点是极坐标和曲线的参数方程
#
通过本课程的学习#们仅使我不尽情感受数学的艺术性#欣赏
那些奇妙的曲线及其方程#还且而会强化我们在实践中应用数学的
意识和解决问题的能力们望同学希从各种坐标系与参数方程的建
#
性当中领会发散思维与创新思维的重要立#提高数形结合的观念和
巧技#上在数学园地#不仅是欣者赏#自且努力使而己成为耕耘者
和收获者
#
!!!!%


目录
!
!
第章坐标系
!
!"
#
坐标系的作用
!"!"
!!!
$
平面直角坐标系中的伸缩变换
!!!"#!"
&
极坐标系
!!!"%!"
!!
极坐标与平面直角坐标的互化
!"$"
!!!
!'
阅读与思考平些重要一面曲线的极坐标方程
!!"
!(
柱坐标系
!"'"
!!!
#*
球坐标系
!")"
!!!
#$
习题
!"
!!!
#)
数学文化基学家阿数米德和他的螺线
!"
#(
第章参数方程
"
!"
%*
从抛物运动谈起
#"!"
!!!
%%
直线的参数方程
!!#"#!"
%'
圆锥曲线的参数方程
!!#"%!"
%&
平摆线及其参数方程
!!#"$!"
%(
渐开线及其参数方程
#"'"
!!!
$!
习题
""
!!!
$%
阅读与思考美丽曲线种种
!!"
'$
数学实验教计算机和用具绘制展现各种曲线
!!"
)#
数学文化家学数卡丹和帕斯卡
!"
)'
课程总结报告参考题
"
))
数学词汇中英文对照表
附录"
!
!
书书书




!"
!
!"#
!"#$%&'()*+,-./01

?@5ABC3DE,-5F5GH&'I
>JK3L'M3+I>H,-NO!()*
DI>P,-Q6RS3TUVWXY0Z
5[\3H]^5_`abcd!
eeefghi


坐标系与参数方程
坐标系的作用
!"!
!
在广袤无垠的平面上!开可你把圆规张以!使其两脚相距
如何刻画一个图形
!!
的位置和形状是几何学
!画一个圆若但问这个圆在里哪!你可以指着它说就在这
!$%&#
的重要内容
#
里!"这里#哪是里呢$很不精确如果我们在此平面上取定以圆规
#
的定的一脚为原点固平面直角坐标系%
'()*+,0)./%0-.123)*/+4+5
&!则可用方程
*/&
""
!67!$$!
"
点确地代数地表达出它是一个圆心在坐标原精!半径为的圆!
!$%&
见图
!!#
有了坐标系!描仅使几何图形不位置得以精确的绘!而且可以
使曲线的形象用代数方程来表达
#
图
!!
有了坐标系!集们可以把单位我内的点组成的圆合简洁地写成
$
!
""
'()
%&!
$7!!6!
!"""#
把由半径为与的两个圆心在原点的同心圆围成的环形内部的点组
!"
成的点集简洁地写成
$
"
""
'!(
%&
$"7!"!#!6#8#
""
有了坐标系!几能写出曲线等才何图形的代数表达式!进而通
过对这个代数方程的研究!性出得曲线的几何该质例如我们写一
#
个方程
"
!
"7!68!69"
系因为有了坐标正!我们说这个程方代表一条抛物线%见图&!
!"
"
!!!!"


第章坐标系
!
!
有了坐标系!实现
图!!
!"
了几何代数化和代数几
而且!由代数的恒等变形得
何化!使代数与几何双
"
双受益
7!68!69#
"
"
!
%&
7!6"6!
从而知时!最小!最小值是!即此抛物线最低点在
!7;"7!
$""$
%!&!对称轴为!开物线抛口向上等几何性质上述几
;"!!7;"#
何性质!了有是坐标系之后!到借代数的方法得助的!反过来!这
究在坐标系中代数地对几何的研种!又反馈给代数!使我们凭借图
与种坐标系中的图象这轴无交点!推断方程
!"!
"
!68!697$
无实数根等代数结论
#
物标系是刻画点的位置与其变化的参照坐我们知道!一条直
#
志上的点的位置可以用一个实数来标线!例如在轴上!我们容易
!
指出这个点在何处)的平面上在点的位置要用两个有序实数!
!7!!
组成的有序数组%!&来确定)空间中的点则需用三个有序实数
!
""
!!组成的有序数组%!!&来确定
#
!#!#
""
里如问一架直升机的位置现在在哪例!我们发现它在东经!
!"$>/3)31+*0.*/3)(*/.5
"=
&当时是拉伸过程!程时压缩过是!所以名符其
3)*/#)'!$#)#!
实称为伸缩变换
#
相似地!变换公式
%&!
%!(7*!*$
'
$
%
!
&"(7"
!!!!9


坐标系与参数方程
把平面上的点%!&变换成平面上的一点%!&!
!%!!%!((
""""
这种变换称为平行于换的伸轴变缩!当时是拉伸过程!
!*'!$#*
时是压缩过程
!#
#
有时称伸缩变换为
!!
"压缩变换#!把拉伸视
中伸缩变换过程在!原点是不点动!即原点%!&变成原点
$$
为广义的压缩也称
#
$
%!&)当!时!公式与表达的伸缩变换下每点都是
$$)7!*7!
$%
为向着轴压缩变换!
!
也称为向着轴的压
%"
不动点!即每点变成自身)外此之除!即!或时!除原点
)(!*(!
缩变换
#
外!每点都移动了位置!图形发生了伸缩
#
伸缩变换把直线变成直线!事实上!设已知直线
$
7)!6+
"$
伸缩变换把平行直
!!
在变换之下!此直线变成直线
$
线变成平行直线
#
!
!
(7)$!(6+!!(7))$!(6+)#
""
)
截距与斜率都扩大了倍换同伸缩变理把直线变成直线
)##
%
例已知正方形!!!!的坐标分别是%!&!
!!,-.$,-.$""
!
!(7!
%
%!&!%!&!%!&!问在伸缩变换与
;"";";"";"$
!
(7
""
&
"
!
%
!
!(7!
"
的作用下!正方形分别变成什么图形$
$,-.$
&
(7
""
解按变换
!
!
!(7!
%
$
!
(7
""
&
"
计算!%&!%&!变成%&!%&!!%&!
,!"7"",(!("(7"!-!"7
!变成!!!
%&%&%&
;""-(!((7;"!
"
变成
%&!%&!%&!
.!7.;";".(!((7
""
%&!!%&!%&!变成
;";!$!"7";"
!!!由于直线变成直线!
%&%&
$(!((7";!
"
正方形变成矩形!见图
,-.$,(-(.($(
图
!9
!9#
!!!!?


第章坐标系
!
!
同理!在变换
!
%
!
!(7!
"
$
&
(7
""
用下作!形正方形变成矩见图所得图形是
,-.$./-/,/$/#!9#
正方形"压扁#了一半形成的!面积是原来正方形的一半
#
例在伸缩变换
#
!
!
%!(7"!
$
&(7
""
与伸缩变换
伸缩变换把圆变成
!!
!
%!(7!
圆或椭圆
#
$
&"(7""
作用下!变位圆单成什么图形$
!
%
!(7"!
""
解在缩变换伸下的作用!单位圆变成
!$!6"7!
&(7
""
"
!
"
!
%&
!(6(7!
"
%&
"
""
!((
"
67!#
"
"!
为成的图形是长半轴变!短半轴为
"
的椭圆!图见图
!?
!!?#
由于伸缩变换是可
!!
逆的!其逆变换也是伸
!
%
!(7!
在伸缩变换的作用下!单位圆变成椭圆
缩变换!所以伸缩变换
$
&(7"
""
把椭圆变成圆或椭圆
#
"
%&
"(
"
%&
!(67!#
"
"
见图
!@#
线为伸缩变换把直线变成直因!所以伸缩变换
形多边形变成边数一致的多边把)伸缩变换不能实
图
!@
现曲线段与直线段的互变!例如它不能把圆变成正方形
#
!!!!@


坐标系与参数方程
极坐标系
!"$
!
为确定平面上点的位置!直面平角坐标系不是唯一的平面坐标
系!有时!一种叫作用标极坐%&的平面坐标来描
B0().%00.123)*/
便点的位置和某种轨迹更为方述例如甲问乙*张庄在哪里$乙
#
答*在从我们站的这里向东北的地方乙回答的就是张庄的
9C&#
极坐标
#
在平面内取一定点!点叫点极作)从起引一条射线!
%%%%!
这条从极点起的射线叫作极轴)选定长度单位%例如&!再选
%!C&
定角度的正方向%逆时针转角为正向!&点这种取定了极+极轴+长
系单位与角度正向的坐标系统叫作极坐标度对于平面上的一个点
#
!连接极点与!线段之长作叫点的极径%或矢径+
'%'%''
$
或向径&!极轴到始边按逆为针转时的角叫作点的极角!
%!%''
%
有序数对%!&叫作点的极坐标例如上面的张庄其极坐标为
%'#
$
#
!!见图
9!A#
%&
8
图
!A
当在极点时!它的极径!极角可以取任何实数
'%7$#
%
$
在极坐标中!若无特殊声明!是非负实数!,&!!
$6
)D
$$
%!&
;6#
%)DD
当!,&!时!的面上平点与极坐标一一对应
$#
'%)$"#
$
!!!!A


第章坐标系
!
!
极坐标有诸多长处!论面我们下重点来讨会!但它也有它的缺
点!样如它并不像平面直角坐标例那系!能建立与平面上的点的一
一对应事实上!对给定的与!标极坐由%!&