2022北京北师大实验中学高二（上）期中
数 学
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 成绩_________
考 1．本试卷共7大题，页，道共五25道小题，答题共卡4页，满分150分，考试时间120分钟
生 2上准试卷和答题卡．在确填写班级、姓名、学号
须 3答卷答案一律填写在．试题卡上，在试卷上作答无效。
知 4．在答题卡上，选择题须用2B笔将铅选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答

第I卷(共100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．已知空间向量，，则
A． B． C．1 D．2
2．若直线与垂直，则
A． B．2 C． D．
3．若表示圆的方程，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．平行六面体中，设，，，若为的中点，则
A． B． C． D．
5．已知，，则线段近上靠的三等分点的坐标为
A． B． C． D．
6．设直线向向个方的一量为，平面的一个量为法向，平面的一个法向量为，则下列说法正确
的是
①若，则与所成的角为30°；
②若与所成角为，则；
③若，则平面与所成的角为60°；
④若平面与所成的角为60°，则
A．③ B．①③ C②④． D．①③④
7．点关于直线的对称点的坐标为
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A． B． C． D．
8．三棱锥中，两两垂直，，，则点到平面的距离为
A． B． C． D．
9．已知点的坐标为，圆与轴交于两点，与轴交于两点，则“”是
“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件
10．设为函数图像上的动点，是圆 (其中）上的动点，若
最小值为1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．过点，的直线的倾角为斜_________．
12．若，，为共面向量，则的值为_________．
13．体正方中，为棱分别和线，则直的中点和所成角的余弦值
为_________．
14系平面直角坐标．中，已知直线过点积与，标轴围成的三角形的面坐为2，则直线的方程为
_________．
15．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面
分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给
出下列四个结论：
①直线与平面所成角为45°；
②二面角的余弦值为；
③点到平面的距离为定值；
④线段长度的取值范围是
其中所有正确结论的序号是____________

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三、解答题(本大题共3小题，共35分)
16．(本小题满分12分)
已知向量，．
(I)若，求；
(Ⅱ)求证：对任意，与不垂直；
(Ⅲ)若与轴平行，求，的值


17．(本小题满分13分)
如图，四棱锥中，平面，底面四边形
为矩形，，，，为中
点，为靠近的四等分点．
(I)求证：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值：
(Ⅲ)求点到平面的距离．


18．(本小题满分10分)
用坐标法解答以下问题
．．．．．．．．．．
如图，已知矩形中，，，分别为的中点，
为延长线上一点，________．
从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一
．．．．
个解答计分，
①连接并延长交于点，求证：；
②取上一点，使得，求证：三点共线．

第Ⅱ卷(共50分)
四、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
19为个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小．一为圆心，半径岛中心2km的圆形区域内。已知小岛中
心位于轮船正西4km陆上的，处港口位于小岛中心正北3km处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁
危险？________(填“是”或“否”)
20．点已知，，，直线直线若，与线段有公共点，则的最大
值为________线；若直与线段则点，有公共的取值范围是________．
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21．知单位向量已，两两夹角均为，则________ ；的最小值为________．
22．知四棱锥已底面中，四边形长为是边的正方形，，设．记直
线面与平所成角为角，二面小为的大．给出下列四个结论：
①若，则； ②若，则；
③； ④
其中所有正确结论的序号是________．
五、解答题(本大题共3小题，共34分)
23．(本小题满分10分)
角坐标系中，已知圆平面直的圆心是是，半径1，直线的方程为，点．
(I)若与圆相切，求的值；
(Ⅱ)若经过点，求直线与圆的交点的坐标；
(Ⅲ)若过点的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围．

24．(本小题满分14分)
如图，直三棱柱中，，，
为棱的中点，是的中点．
(I)证明：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；
(III)棱上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求
的值；若不存在，说明理由。

25．(本小题满分10分)
对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值。
(I)已知，．
①写出，写出 (用含的式子表示)；
②当，写出的最小值及此时x的值；
(Ⅱ)设，，求证： ；
(Ⅲ)在空间直角坐标系中，，，，点是以为球心，1为半径的
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的动点，点球面上是出内部的动点，直接写的最小值及相应的点的坐标．

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参考答案
第I卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C B A A C B D
二、填空题（每小题5分，共25分）
题号 11 12 13 14 15
答案 或 ②③④
2
三、解答题（共35分）
16．解：（I）当时，
因为，所以．
（Ⅱ）因为

因此，对任意，与不垂直
（Ⅲ）由题意知，
即存在，使得
则
即，解得，
17．解：（I）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原
点，分别以,,的方向为正方向轴的建立空间直角坐标系．
，，，，
，，．
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因为，
所以，即
因为
所以，即
又因为，因此平面
（II）因为平面，所以为平面的一个法向量
由（I）知为平面的一个法向量。

设所求角为，由图知为锐角，因此
（Ⅲ）点到平面的距离
18．解：以为原点，，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系．
图中直线的方程为．
选择①：设，
则直线的方程为，
联立，
得．
所以
又，所以．
所以．
选择②：设，
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则
因为，所以
所以直线的方程为
所以
所以，所以三点共线．
第Ⅱ卷（共50分）
四、填空题（每小题4分，共16分）
题号 19 20 21 22
2；
答案 否 ①
；
五、解答题（共34分）
23．解：圆的方程为．
（I）由题意知，圆心到直线的距离
解得或
（Ⅱ）若直线过点，则，直线的方程为．
联立直线与圆的方程，，
解得交点坐标分别为（1,1），（，）
（Ⅲ）设直线斜率为直线，则的方程为，即．
设圆心到直线的距离为，有
因为，所以．
解，得．
24．解：（I连接）证明：,，由于,，故
又因为平面，平面，所以平面
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（Ⅱ）如图，取，中点，由于⊥平面,，因此平面，又因为，
所以，故,,两两垂直，以坐标原为点，分别以的方向为轴
的正方向建立空间直角坐标系
则．
，，
设平面的法向量为，
，即，取
则
设所求角为，则

（Ⅲ）设，
则
若点在平面内，则垂直于平面的法向量
因此，解得，
故棱上是否存在点，使得点在平面内，此时
25．解：（I）①，；②，此时
（Ⅱ）

因为，，
所以，
所以
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（Ⅲ）


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