经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过
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普通高中课程标准实验教科书

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ISBN 978-7-5355-4202-1
9787535542021>湖南教育出版社
定价：5.60元


普通高中课程标准实验教科书
数学

选修4-1
几何证明选讲
湖南教育出版社


主!!编!张景中!黄楚芳
执行主编!李尚志
本册主编!张景中
编!!委!于!劭!朱华伟!郑志明
普通高中课程标准实验教科书
数!!学
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几何证明选讲
责任编辑!胡!旺
湖南教育出版社出版发行"长沙市韶山北路""%号#
客服电话!&'%$#()"(*+'+
湖南出版中心重印
重庆市新华书店经销
湖南天闻新华印务邵阳有限公司印刷
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书书书


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学一点几何证明
如果我们把数学比作金碧辉煌的宫殿或万紫千红的花园!几何就
!!
是这宫殿或花园门前的五彩缤纷的花坛和晶莹夺目的喷泉它以最直
!
接的方式展示出数学的丰富多彩!吸引人们来欣赏数学和了解数学
!
几何有悠久的历史在历史上!数学科学首先作为几何学而出
!
现早在多年前!几何已经成为一门结构严谨而自成体系的科
!!"##
学在漫长的发展历史中!许多杰出的数学家在几何领域辛勤耕耘!
!
留下了丰富的宝藏
!
几何是数学花园中最美丽的部分它既有令人赏心悦目的优美的
!
图形!又能提供由浅入深的众多的有趣问题让你思考探索它把数学
!
的直观和抽象的逻辑推理紧密地联系起来!论证严谨而优雅!命题精
致而美丽入门不难!魅力无限
!!
和数学的其他部分一样!几何最初来自于人类的生活实践最古
!
老的几何问题!也是最有实用价值的几何问题!是土地的测量和计
算!和吃饭问题紧密相关吃饭问题初步解决了!就像建筑好的住
!
房!缝制像样的衣服!制造器皿家具这就需要画更精确的图样!几
!
何作图问题自然提了出来计算和作图都要有个道理!讲清楚道理就
!
是证明古希腊人研究几何最讲究证明中国古代的几何则讲究计
!!
算!把作图和推理都归结于计算!叫作寓理于算
!
所谓证明!就是要由因求果!弄清楚道理讲道理要有些规矩
!!
正是在讨论研究大量几何问题过程中!人类认识到了讲道理的规矩!
即逻辑思维的一些基本规律
!
学习几何!其意义主要不在于具体的计算公式和定理!而在于提
高认识事物"探索规律和表达思想的能力几何思维!是人类理性活
!
动发展过程中不能省略的阶段在几何证明的过程中!可以生动地体
!
验到!如何从纷杂的事物中找出关键的线索!如何在变化的数量中发
!
书书书


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现不变的关系!如何从平常的事实推导出令人惊叹的结论!如何从直
观的形象提炼出抽象的规律!如何把基本的概念发展成有力的方法
!
在历史上!许多著名的科学家!如牛顿和爱因斯坦!通过学习几何锻
炼了研究和表述的能力!为取得重大科学成就创造了有利的条件
!
公元前约年!欧几里得写出了流传千古的"几何原本#!把
!""
当时人类所掌握的几何知识熔于一炉!铸成一个空前严整的科学体
系在"几何原本#中!欧几里得从少数显而易见的基本规则出发!
!
用毋容置疑的演绎推理方法!一步一步地推导出数百条几何定理这
!
在人类的科学思想发展历史上!实为一大创举几何证明的思想和方
!
法!对人类的科学和文化产生了难以估量的影响
!
几何是数学思想的摇篮现代数学中许多重要的概念$方法和思
!
想!或者来自于几何事实的启发!或者发源于几何问题的探索许多
!
不同数学领域的概念!能在几何中找到它的原型在数学史上!由于
!
对某些几何问题的执着的研究!导致了新的数学观念的诞生和新的数
学领域的出现几何是数学的童年!是数学的故乡熟悉几何!能更
!!
好地了解其他数学学好几何!有助于掌握更多的数学
!!
几何研究的直接对象是空间形式世界万物的运动变化都在一定
!
的空间中发生光的传播路线!电磁感应的规律!物质的结晶形式!
!
生物分子的双螺旋结构!都和几何有不解之缘在学习几何中得到加
!
强的空间想象能力!对于进一步学习其他科学知识大有帮助
!
如果多浏览一些资料!就会知道几何和人文学科并非无关几何
!
与艺术!几何与语言!几何与哲学!几何与政治!上网查一查!找书
读一读!大家议一议!必能眼界大开!必有丰富收获
!
现代信息技术的发展!给几何提供了新的用武之地在计算机科
!
学技术领域!许多与几何有关的问题有待研究解决信息技术的发
!
展!又使几何变得更有趣!也更容易学习了使用计算机能作出动态
!
的几何图形!随着图形的变动和测量数据的变化!已构建的几何关系
变得极为直观!能够更容易地揭示出蕴藏在特殊图形背后的一般规
律在这由现代技术提供的平台上!你可以检验自己提出的几何猜
!
想!随心所欲地设计图案和几何变换!使几何的魅力充分地呈现
!
书书书


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出来
!
在初中数学课程中!已经学了不少几何知识在这个专题课程
!
中!将要温故知新!在整理已学过的知识的基础上!探讨更丰富的几
何现象!体验更犀利的思考方法!学习更严谨的表达方式!接触更深
刻的数学思想
!
让我们开始吧祝同学们学得愉快!学习成功"
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作者
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随着几何美妙结构和精美推理的发展!
数学变成了一门艺术
!
世纪最富独创性的数学成果!来自
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受绘画艺术的激发而产生的灵感在这一世
!
纪中!科学为数学研究提供了主要的动力
!
画家们在发展聚焦透视体系的过程中!引入
了新的几何思想!而且提出了一系列导致这
一研究进入全新方向的问题
!
书书书


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数学实验
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直线交点的奥秘
实验任作直线!在上任取一点"再作直线!在
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上任取一点"继续作出直线与的交点!与的
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交点!与的交点如图#
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观察并判断$!!三点之间有什么关系%
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实验从一点出发作三条射线!!!在上任取
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一点!在上任取一点!在上任取一点再作直线
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观察并判断$!!三点之间有什么关系%
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随便画几条直线!其中能有什么规律吗%
图!图!
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!!!!!!!!!!
若有条件!最好在计算机屏幕上用具有动态几何作图功能的软件
来进行试验&例如使用'超级画板(!这样你可以拖动!!
#$#!"
!!!诸点!观察发现三个交点在变化中依然保持的关系
#$%&*
上面两个实验是定性实验!下面做一个定量的实验做定量的实
*
验!用计算机的好处就更明显了
*
实验作任意四边形!直线!交于!!
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交于!!交于!!交于!!交于如
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测量线段""""
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"的长度并计算出比值"
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"""""拖动
图!
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""""观察这些比值的变化"你发现了什么#
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$如果没有计算机"可以只测量前条线段及计算前两个比值%
#*
在前两个实验中"会看到""三点总在一直线上"即三点
+,-
共线在实验中"会发现个比值两两相等
*"$*
为什么随便画几条直线"就有如此看似巧合的有趣现象呢#
古代的数学家"是怎样发现这些规律的呢#
用我们所学的这一点数学知识"能说明这些规律吗#
从实验中看到"仅仅由一些直线和它们的交点构成的几何图形"
其中也蕴藏着始料不及的奥秘
*
最初对这类直线图形的奥秘感兴趣的不是数学家"而是!
!%!$
世纪的艺术家为了把立体的景物逼真地描绘到平面上"他们努力研
*
究透视$%的数学原理"并且提出了一系列的数学问题
&'()&'*+,-'*
到世纪"自学成才的大数学家&建筑师吉拉德!笛沙格$
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"!%"对透视的数学原理做了深入的研究"创立
2')0(34')!%5!!$$!
了一门源于艺术的科学!!!射影几何"学#$%"
(6'*+,-''68'+(
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射影几何被认为是最美的数学分支之一
*
古人在多年间
!""
!!
在本专题中"我们将有机会欣赏与射影几何有关的一些漂亮的结
辛辛苦苦地开发出的科
学宝藏!我们经过几个
果更有趣的是"我们将会发现"由于数学思想的发展"只要在小学
*
小时的努力!就能欣赏
所学的几何知识的基础上稍稍前进一小步"就能揭开上述几个实验中
享用了
!
的奥秘"就能证明射影几何中一些著名的基本定理
*
!
书书书
书书书


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几个基本定理
!!!"!!!
让我们从一个很简单的问题开始
!
几何的最大魅力!
!!
就在于它往往从平凡简
在的边上取一点!连线段已知!
""#$"#%$%!"%&!#%
单的事实出发!经过几
!
又知道的面积是!能求出的面积吗"图#$%
#%$"#$"%$"%
""
步无可置疑的推导!得
出意想不到的有趣的
结果
!
图#
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!
答案是"$因为&
$!
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等高三角形的面积的比等于底之比"图#$
"&!
图#
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图#中当!两点重合!!两点也重合时!得到&
"&"'($
一个几何定理的简
!!
单特例常常是更为有用
命题若点在直线上!点是直线外任一点!
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的让图中不同的