a+1
n
Saab==+，=-则数列,62,52
5711n
{a的前n项和为}
S，a
n
nn
b（ ）A．有最大项，无最小项B．有最小项，无最大项C．既无最大项，又无最小项D．既有最大项，又有最小项【答案】D【分析】根据等差数列的首项
{}
n
a,b通项,进而根据b的单调性,即可得最值.【详解】等差数列
公差 ,a和a{}{}{}
nnn
1d列方程,可得1d,进而可得
�10255ad+=-a=-11
�
1
1
�
��
{a的首项为}a ,公差为21626ad+=d=3
aaS=+-=得,62,52
n,� 故1�
15711
d, 由
ann=-+--= 4131311
()
n
a+11
n
b当=+1=
n
an3-14
n
{故b单调递减,}bbb>>>>L,且1b当= 2
nnN��时, 5,
n
5675
101
bb==，故
14
{b单调递减,故}1且,>>>>bbbb
15,0cc>，
n，即，所以
3
5
ab是最小项．故选：A．3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列
416455
a的首项b
{}a=，且129aa=+，正项等比数列{}
n143n


1
b=，且
2
1
{a的前n项和为}{bS的最大项的值为（ ）A．}
32bb=，若数列S，则数列
nnn
243n
9
8
9B．1C．8D．2【答案】C【分析】先求出
bS的单调性，得出答案.【详解】设等差数列
，的得到aS，再求出，从而得出bbS，然后分析出数列{}
nn
nnnnn
的公比为a29aa+即23dd=++
{}29aa=+，则()
n11
43
d，由
211(++23dd)=+，故9andna-- =+则=(121)
n1
d=，则2
nn-1
()
2
S+=设正项等比数列=�nadn
n1
2
2
32
2
的公比为bqq>，由023bqb=所以q
{}()32bb=，则()
11
n
43
2
11
��
3211
n-1
32�=�qq
q=，则bbq==
��
n1n
22
��，解得
22
2
2
22
n+1
cn()
nnn+1
==当
bS=，设c，则=
n
nnn
nn
cn22
22n
c
n+1
>，即1
cccc>>L所以
n�时，3n345
2
39
cbS4==最大.故选：C=．（2022·广东·一模）已知正项数列
333
3
28
1
*
n
a满足
{}nan�=)(N，当a最大时，
n的值为（ n ）A．2B．3C．4D．5【答案】B
nn
的首项


lnx
1
fx()=的最值即可求解.【详解】令
x
yx=，两边取对数，再分析
x
1
1
lnx
x
lnlnyx==，令
x
yx=，两边取对数，有
x
lnx1ln-x
fx)(，则=fx�()=，当
2
xx
fx�)0(>时，fx�(0).e
fx在()(0,e)上单调递增，在(e,+)�上单调递减.所以
fx取到最大值，从而()y有最大值，因此，对于
x=时，e
11
*
n2
ann�=)(，当Na=；当2
nn=时，22n=时，1333a=.而3
1
1
32
a最大时，
32>，因此，当nn多=.故选：B二、选题5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列3
11
a=++1
n22
n
{na项和为的前}(n A+，则下列结论中正确的是（ ）．1)
S，若
n
n
2
nn++1
a=
n
nn(B+．1)
2
nn+-1
S=
n
n．+C1
3
a�D．满足
n
2
S选项，对�的n的最大值为2020【答案】ACD【分析】A0212
n
11
a=++1
n
22
n
nB+化简后得到结果；选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消1
()
【分析】先令


3
aa选项，在=；D�B选项的基础上进行求解即可..【详解】
n1
a是单调递减数列，故
{}
n
2
2
2
��nn(++11)
111nn++
��
a==++=1
n22
2
2
nnn+1
()
nnn因为++，故A正确；11
()()
111
a+-=+=11
n
nnnn(，所以++11)
2
1111112nn+
������
nnS=+=+-+-++-=-11L，故B错误；因为
n������
223111nnnn+++
������
11
3
11+>+
aaC=，故�正确；因为
n1
nnnn，所以+++121a是单调递减数列，所以
()()()aa>，所以{}
n
nn+12
11
a>=+-01
n
单调递增，且SS，2102S2·�的n的最大值为020，故D正确．故选：ACD6．（2022·全国高三专题练习）等比数列0212
nn+，所以1n02202021n
a各项均为正数，a的前
{}20aaa+-=，数列{}
a=，20
nn
1432n项积为
T，则（ ）A．数列
n
a单调递增B．数列a单调递减C．当
{}{}
nn
T最大D．当T最小【答案】BC【分析】由等比数列基本量求得等比数列
n=时，5n=时，5
nn
T
n+1
a的公比，由a的增减性，然后由
{}a>可得数列0{}
T判断数列
nn
nn
T的单调性，从而得到
{}
T的最值.【详解】设等比数列
n
n
2
{a的公比为}q，
Q，20aaa+-=\=-+，02qaqaa
n
432222
1
\=，q
2
a各项均为正数，
{}\>，a0\=-+，021qq
n2
Q等比数列2
法求和；C选项，


n
1
��
\=�a20
n��
a单调递减；
，Qa=02{}
2
1��，n
\数列
n
T
��1
n+1
\==�a20
n+1��
QL，aTaaa==\TaaaaaL，T2
��，当
n
nnn121-nnnn+-+11112
nn
TT
��1��1
n+1n+1
>==�a012>，设
S分别是等差数列
n
nn项和，798
d，
b的前
baaa=��，数列{}
T，则下列结论中正确的是（ ）A．满足
nn项和为
nnnn++12n
S>的最小0aa�D．
T取得最小值【答案】AC【分析】由已知可得
78910n=时，8n
a，0aa，公差+，利用等差数列前0n项和公式以及等差数列的性质可判断A；由
aa可判断+，0aSSa170
16179
S>的最小0
nn值为
222
17，故选项A正确；选项B中：
aaaa，即-=-->0aa>，故选项B错误；
8989
89


a可知公差0
89d则>，0
2
aadadad++--2==++2422daddad
aaaa-=()()()()
888888
91078
+��C正确；选项D中：当
89
78910
a，0
n�时，8nn�时，9n
b0baaa，当=，0
n�时，6nnn+1779888910n�时，9n
TT>；当
TT>，TT>，
7678n时，�8nn+1
aaaaaTTbbaaaaaaaaa=>，-=+=+=+所以+()()0
86787898910897108989
TT>，所以当
T取得最小值，故选项D不正确，故选：AC.8．（2022·江苏·高三专题练习）在
86n=时，6n
V（ABC的对边分别为ABC,,，abc,,
n=2,3,1,L）中，内角
nnnnnnnnn
2222
ac+2ab+2
2nn2nn
b=，c，则（ = ）A．
n+1n+1
V的面积为ABCb=，4
S，若a，=5c=，且3
nnnnn1144
BV一定是直角三角形．ABC{}nS为递增数列C．
nnn
{nS}有最大值D．{}nS有最小值【答案】ABD【解析】先结合已知条件得到
1
2222
cbcb-+-，进而得到+252=5222
()
nnnn++11
cab用面积公式得到递推关系+=，得A正确，再利=25
2nnn
1875
22
4SS=+，通过作差法判定数列单调性和最值即可.【详解】由
nn+1
64
22222222
ac+2ab+2baac++2211
2nn2nn22nnnn222
b=，c=得，bc+=+=++abc
()
n+1n+1nn++11nnn
444422
2511
222222
，故=++cbbccb--++，2=525
()()
nnnnnn++11
222
选项C中：由


2222222
bc-，+25=0\=-+，cb052，故\=+acb25=VA一定是直角三角形，正确；CBA
11nnnnnnnn
422222
2222
bcabca+++24
abac++22()
1nnnnnn
22
nnnn
S=，而bcbc=�=，故
nnnnn++11
V的面积为ABC
nnn24416
422222
2
babca+++42c
()187516+S
nnnnnn1875
2222
n
4SS故，==+bc==
nn+1nn++11
161661
22
18751875SS3
222
nn
SSS又-+--，==
nnn+1
644644
22
bc+
12552
nn
S（当且仅当=�bc=bc时等号成立）==
nnnnn
244
2
2
18753S
22
n
-�，又由\-SS=022
nn+1
b=，4c知=3bc�不是恒成立，即SS>，故SS>，故{}nS为递增数列，
nn+1
64411nnnn+1
{}nS有最小值正确，.S，无最大值，故BDC错误.故选：ABD【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到=6
1
1
2222
cbcb-+-，进而得到+252=5222
()
nnnn++11
cab盐城中学一模）对于数列+=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.9．（2021·江苏·=25
nnn
2
1
ba=-（
nn
*
a，若存在数列b满足
{}{}a
nn
nn�N），则称数列
a的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）A．若数列
{b是}{}
nn
{a是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B．若}
n
an，则其“倒差数列”有最大值；=-C．若31
n
an，则其“倒差数列”有最小值；=-31
n
又


n
1
��
a=--1
n��
2
��，则其“倒差数列”有最大值.【答案】ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A．若数列
111
baaaab-+，-=--+=虽然有)1()(
nnnnnn---111
a是单增数列，则
{}aaaa
n
nnnn--11
1
10+，但当aaba，显然1
325
b=-=>，∴0
1
bbb>>>，∴L{}b的奇数项中有最大值为
135n236
5
b=是数列
1
{}(*)bnN【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．中的最大值．D正确．故选：ACD．�三、填空题10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在
6n
fx满足xffx，当+=+112
()()()x�时，[1,0)
R上的函数
D．若


*
3
*
fxx=．设fx在区间[nnn1N,上的最小值为+�)
()()()a．若存在lan实数有解，则+，0
n
1d且>，0
daandnda所以数列=+-=+-，1
()()
n11
a是递增数列，又
{}
n
aan+�
()
1n
S=，所以
n
2
Saa+a1
nn11
==+
naa222��ddan+-
()
nn1
��，即
S
n
na是递减数列，所以当
n
��
Sa
n
1
=1
��
na1�，故答案为：112．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题a
�的最大项为n
n=时，得到数列11


2
a+12”为真，则实数λ的最大值为____.【答案】7【分析】先求出
n
{}1的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m=a，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，所以λan ≤
n
12
2
a+12⇒λn≤n2+12⇒λ≤n+
n
n，又函数
12
yx=+在
0,23)上单调递减，在()(3,2+�上单调递增，当
x
12
()7n+=所以
min
n=或3n=时，4n
l天津市�故答案为：713．（2022·7
7
n
na=+，则数列(1())
新华中学高三期末）在数列n
a中，a中的最大项的
{}{}
nn
8n______=__ .【答案】6或
7【分析】利用作
商法判断数列的单调性即可求出其最大项.【详解】
7
n
an令，=+>0)(1
()
n
8
7
n+1
n+2()
()
an+27
n+18
==��1
7
ann+18
n
n，解得+()1
()
8n即�，6
aa�，当
n�时，6
nn+1
aa时，6nn+1
a或a最大，所以
67
n=或6.7故答案为：6或7.
“∀n∈N*，λan≤


3
＋1＝0，则Sn－
2，an＋2an
1
S的最大值与最小值的积为________.【答案】－
n
35
72【分析】先
1
S的最大值与最小值，即可求解.【详解】因为an＋2an
计算出公比，求出Sn，分奇偶性讨论得出Sn－n
a1
n+1
=-，所以等比数列{an}的公比为
a2
n
＋1＝0，所以
1
-，因为a1＝
2
3
2，所以Sn＝
n
��
31
��
1--
��
��
n
22
��
��1
��
��
=--1
��
1
��2
��
1--
��
2
��.①当n为奇数时，Sn＝
n
11
��
3
1+
��
S随着Sn的增大而增大，故0＜Sn－
2
��，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝
2，又Sn－n
1
5
S≤
n；②当6n为偶数时，Sn＝
n
11
��
3
1-
��
S随着Sn的增大而增大，故
2
��，Sn随着n的增大而增大，则
4＝S2≤Sn＜1，又Sn－n
1
7
-≤Sn－
S＜0.
12n
14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数�