a为等差数列，首项
{}a，公差=2aa，则+=82
nd=，若3n=（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；【详解】解：因为首项
1nn+2
andna=-，=+-因为(131)
a=，公差2
n1
1d=，所以3
3132128nn-++-=，解得
aa，所以+=28()()
n方城第一高级中学模拟预测（文））已知=故选：D2．（2022·河南·4
nn+2
a的前n项和.若
S为公差不为0的等差数列{}
n
n
S成等比数列，则12a=（ ）A．11B．13C．23D．24【答案】C【分析】设出公差，利用
a=，1S，S，
1139
S成等比数列，列出方程，求出公差，求出答案.【详解】设等差数列
S，
S，
139
a的公差为dd�，因为0
{}()
n
S成等比数列，所以
S，S，
9
13
2
39363dadaa+=+，化简得
()()
111
da，==所以22
d=（舍去）或01
aad+==.1123
121
能力拓展重难点05五种数列通项求法（核心考点讲与练）题型一：公式法求数列通项一、单选题1．（2022·北京·二模）已知


{a，则通项公式为}nna-=-+，=令15151141()
nn
13
n因为�，134
1512022n-�，解得：15
*
n�4，所以这个数列的项数为134.故选：CN．（2022·新疆·三模（文））已知数列
{a是以1为公差的等差数列，为首项，3}{公比的等比数列，设b是以1为首项，3为}
nn
*
Tcccn++=+�L，当N
ca=，
()T0{}
n
nnnnn+1
2
TT.【详解】由题意知：1220,2102
67
n-1
nn-1
a，-+==-=,231331nnbcaa�-=-===，33223
()
n-1
nnnb
n3
n
313-
()
3
2nn
Tnn-=-=-++�--=-+3213223232L，
()
n
132-
故选：C3．（2022·陕西西安·三模（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（ ）A．132B．133C．134D．135【答案】C【分析】先得到新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，求出通项公式，解不等式求出数列的项数.【详解】由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，设新数列为


33
nnn++11
Tnn-T�-+---�=1210232133+=->，故
()()()
n+1n
22
33
67
TT�=�--�==�--，=故当52637213,08016213
()()
67
{T为递增数列，又}
n
22
T模拟预测）已知数列，则数列,
n
kkmm++11
l
1
n��
l而-单调递减，不符合题意；1
��
l-时，1
l
�1
l综上所述：-.1
012天1530
1
��
ba=�-�+=+++093879831391
99��
2
��，知8天后，
马之间的距离即两天行走的马第9距离之和，由两马之
间的距离039为里，故D不正.确故选：AB8．（2021·福建师
{}a的前a>，公比1
T，若q�，1
nn项n1
大附中高三期中）各项均为正数的等比数列积为
D．8天后，


命题正确 的是（ ）A．若
TT=，则T=B．若1TT=，则T是T中最大的项C．若
147
5959n
必有必有
T>，则TTT>D．若T，则>TTT>【答案】ABC【分析】
67786756
必有必有
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解.【详解】由等比数列
n-1
{}a可知{}a的前
aaq=�，由等比数列
n项
nn1n
积结合等差数列性质可知：
nn-1
()
11212nnnn-+++-L
2
aaaT��=a对于AL，若=qaaqaqaaa��L==qq
nn123111111
7
1491426
2
510936426
\=Taqq正==，故Aa1
确；对于B，若
()
TT=，可得aqaq=，即aq=，11411
59111
13
426
2
aq=，又1a>，故1
TT=，可得aq=，即1q>，则Ta>，则0TTT>，故C正
qaqa，即>aq，则T
aq，0
q()q，即可得解；【详解】解：
依题意得到方程，求出
q(q>，由0)
SS，即=+12SSS-，即=+1
aS，=+所以1
32322
32
依题意设公比为
2
2
aaq=a+q+，即1
qq=--，解得20q=或2q=-（舍去）；1
111
A．当


3
aaq==；故答案为：8
41
811．（2022·江西
p
��
a�,p
n
��
a和正项数列b，其中
{}{}
2
景德镇·三模（文））已知数列nn��，且满足
1
cc=，其中
2
nn-1某个给定论中：①
c满足
babcos1-=，数列{}abc对于=-.sin1a或b的值，则下列结
nnnnnnn11
2
��
51-
b�,1
��
1
��
②③数列④数列确命题的序号___为________.【答案】
2
c；-�(0,1){单调递减；c}{b单调递增.其中正}
��；1nn
①②④【分析】
2
b-1
pn51-51-
，结合-，解得0①；根据
2nn22
51-
0
2nn+1
2
22222222
babcos1=-，abc=-得nis1(1)()1cbb+=--，)1)(1(cbb+=--，
nnnnnnnnnnnn+++111
两式相减得
22222
()(2)cccc-++，---=())3(bbbbcc>，结合，可判断
nnnn++11nnnn++11nn+1nnnn+1
根据
④.【详解】
2
b-1
pn
，-，所以0，解得，所以-�c()0
n1nn+1111成立，所以数列
c恒
1nn+1
2222
{c单调递增；故}
n
③不正确；由
2
b-1c+1
nn
osca，由=nsia=，所以
2nn
bbaos1c=-得babc-得=s1nib
nnnnnn
nn
2
bc-+11
2222
nn
1ossin()()caa+=+=，所以
nn
bb
nn
2222
(1)(1)cbb+=--，所以
nnn
2222
(1)(1)cbb+=--，两
nnn+++111
22222222
(1)(1)[(1)(1)]bccbbb+-+=-----，所以
nnnnnn+++111
式相减得
2222222222
)(2)(ccccbb-++=---+-(2)()bbbb=，---由)()3(bbbb
nnnn++11nnnn++11
nnnnnn+++111
}{c递增，所以cc->，又0cc-=，++>-所以+01122
nnn+1nn+1
③知，
()(2)0cccc-++>，因为
nnnn++11
2222
b，所以--bbb，所以b->0bb>，又{}bb>恒
n
nn+1nn+1nn+1nn+1
成立，综上所述，数列
{b单调递增.故}
n
④正确.故答案为：
①②④.【点
}{的单调bisn和acosa得到
nnn
睛】关键点点睛:判断数列性利用,时平方关系式消去
2222
1)(1)(bcb+=--是解题关
nnn
键.四
、解答题
所以


{a的前n项和为}
，且SS)=.(1求61
n
n4
保定·二模）已知公差为2的等差数列
a的通项公式.(2)若
{}
n
1
1
b=，数列
nT0
��
42123nn++
��，所以
1
T2.13．（.【答案】(1)
T，
nn+-11nnn
nn�，3n�Z时，
an证明=+；(2)12
n
见解析﹒【分析】(1)根据
a和d的方程组，解出，和ada；(2)分
11n
题中条件列出关于根据等差数列通项公式即可求
20Ta即可．>-(1)由题可知，
b，
T，当
nn
nnn�，3n�Z时，
母有理化裂项相消即可求证明
�2186ad+=
�a=3
1
1
�
�
61548ad+=∴
an；=+(2)21
d=2
�，解得1
�，n
222321nn+--
b===
n
2
anna，+-++1232
nn+-11
1
��
Tnnnn--+++-+-+-++--=51232321259371L
n()()()()()
��
2
1
��
nnT+++=--313212
n
��，
2
\>-�--+=-，31303222naT
Q，nn��3,Z
nn
2
西安中学模拟预测（文））·\>．14．（2022·陕西4aT
nn
a的前
S为等比数列{}a=，4
q>，已知1
nn项和，且公比2
n
记
S(=．1)求14
3
a的通项公式；(2)设
{}
n
ban，若=+-l1b是递增数列，求实数
(){}
nnn
l的取值范围．【答案】(1)
n
项和公式的-+�【分析】（1）利用等比数列通项公式和前n,1
()
a)=(22
n
基本量进行运算即可.（2）
{b是递增数列，利用}bb恒->0
n
nn+1
成立即可求解.
(2)设


{a中，}
a=，4S，=41q>∴1
n
23
∵等比数列
4
1
=，解得++4414q
qq=或2
2（舍），∴
nn-2
a由)=�=．(2224
n
n
n+1
annb+-=，得=+-ll121bn则，=+-+112l
()()()()
nnn+1
nnn+1
bb--，+=-=-+因为21212ll
nn+1
nn
b是递增数列，所以
{}bb，故->0
n
nn+1210，即+->ll，>-因为12
n
12-是递减数列，所以该数列的最大项是1
{}
121-=-，所以
山-+�．15．（2022·,1
()
l的取值范围是
a中，
{}a，a，a分
n
123
东临沂·模拟预测）等比数列别是下表第一、二、三行中的某一个数，且
a，a，a中的
123
任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列
a的通项公式；(2)若数列
{}
n
满足：bbaa，求数列=+-1nlb的前
{}(){}
nnnnn
2n项和2nS．
(1)


n2
n-1
nnnS--【分析】（--1=）先得到3nl22nl219
()
a(2)=�23
2n
n
a=，2a=，6a）求出=，求出公比，从而求出等比数列的通项公式；（281
123
nn(-1)
��
nn
2
S=--�331ln2
��
n
nn--11
��
aab-=+��-+，分组求和得到32nl132nl1=
()().S(1)由题意知：
nnn��，从而求出2n
a=，2a=，6a因为=，18
123
a是等比数列，所以公比为3，所以数列
{}
n
n-1
a的通项公式
{}a)=�．(2因为32
n
n
nn--11
baa-=�-+�+，所以(1nl1322ln3)=()
nnn
n
213-
()
aaaaaaaaa++-++=-+LLLn·nlnllnl·
()()()
121212nnn
Sbbb=+++=L
nn1213-
nn-1
()
��
nnnnn112-
2
=3ln2133331l123n--=���״--�L，所以
()��
��
��
221nn-
()
��
222nnn
2
Snnn=和nS：二型题．an关21ln23913nl22nl3-=-----�
��()
2n
��
��
系1求数列通项一、单选题法．（2022·四川·内
a的公比为q，前n项和为
{}S．若
n
n
江市教育科学研究所三模（理））已知等比数列
aS，=+12aS，则=+12
q（ =）A．3B．2C．
3243
-D．3
-【答案】A【分析】将题中2
a
4
q=的值.
aaa，-=2aa=，由此可计算出3a
43343
两等式作差可得出整理得出3
【答案】(1)


aS与=+12aS作差得=+13aaa，-=2，因此，该等比数列的公比\=aa3
324343343
a
4
q福建==，故选：A.2．（2022·3
a
3
2*
22Sn+=an�N，且
a的前n项和为
{}S，若()a则，=8440
nn+1
n
n2022
三明·模拟预测）已知数列
a（ = ）A．-8B．-3C．-2D．8【答案】B【分析】先由
1
an从第二项--21
S求a,判断出{()}
n
nn
起为公比为-1的等比数列，得到
n-2
ana，代入02=n22=-�-+-即可解出(1212)()()
a.【详解】因为
n1
1
2
22San+=①
nn+1
，所以当
22Sa+=，即22aa+=.当
n=时，有11212
2
221San+=-②
()
nn-1
n�时，有2
，-
2
2
22212nSSaan-+-=--，所以
()a=，-+即a24n
nnnn-+11
nn+1
①②得：
nana-=---221��()
nn+1
��，所以
an从第二项--21
{()}
n
起为公比为-1的等比数列.所以
n-2n-2
aan，即�---=-1212ana因为.=-�-+-1221
()()()()()()
n2n2
n-2
ana所以.=-�-+-1212
22aa+=，所以aa=-，所以22()()()
n1
1221
20222-
aa，解得：=-�-=-+840412202212
()()()
a=-3.故选：B
20221
1
【详解】将等式


2
{a的前}
S为数列Snna=-+，则“
n
nn项和.若n
江市教育科学研究所三模（文））设
2aaa+”的（ = ）A．
a=”是“0426
充分不必要条件B．必要