1
89ln-D．,1aaa【分析】根据题意设>>【答案】D,1
342019342019
11
fxxxx0)()ln(，利用导数讨论函数的单调性，进而得出=->-xx在-�ln
xx
[1)上恒成立，作出图象，结合图象即可得出结果【详解】由题意知，，.设�+
1
xxxxf(0))ln(=-->，则
x
2
)1121(11xxx-+-
�
fx()0=+-==�
x
2222xxxxxxx���，所以函数
(0)又，上单调递增，�+
fx在()
1
xxfxln0)(=--�在
f1)0(=，所以)[1即，上恒成立，�+
x
1
xx在-�ln
[1)，上恒成立，+�
x
能力拓展重难点08 七种数列数学思想方法（核心考点讲与练）题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）数列


1
yx=-和
yx的图象，如图，=由图象可得，ln
x
aaaa高三专题练习）若数列>>>���>>���>，故选：D.2．（2022·全国·1
1232019
p
��
*
aan�=nsiN，记数列
()
nn+1��
a满足a的前
{}aa=，{}
2
n��nn项和为
1
S，则（ ）A．
n
{a是递减数列B．}{a是递增数列C．}
a�时，2)(1,
na--时，�(2,1)n
11
��
1
a�,
a=-时，
�
�
22aaS�+D．S【分析】设C>-【答案】9120
32
��时，1022220212021
2
pp
����
xxxh()=-sinhxxx()>=-nsi0
����
x时，�,1)(0
22
��，根据导数判断出当成立，从而可判断��选项A；当
p
��
xhxx=-0osccarnis
()
x=，osarcc
000��
0
24pp
pp��，又
pp
����
xhxx=->n0sisinxx>
()
����
hh((1)0)0==，所以
22
��，即��，当
ppp
����
a�,paa=nis�,01
()
��21��
a�时，2)(1,
222
��，�，所以�
��p
aaa>=nsi
nnn+1��
2
n�时，2��，所以选项A错误；易知函数
p��p
��
hxxx=-nsixxxh>=-0sin
()()
����
x时，�,1)(02
2
��是奇函数，因为��，所以
��pp
��
xhxx=->>…，
nnn结合蛛网图，可得到+1OPOPOP
12n
若


1
aa3
n+122
��=，所以选项C正确；因为所以
1
aa2
n2
3
pp
����
xhxx=-aa�；当aa0,，2)(
n
1
1
-a
*
n+1
nNeaka，给出下列三个结论：①若+=-+�)(
nn+1
a仅有有限项；②若
a{}
n
nk=，则数列1k=，则2


2
n
0
>成立．则上述结论中正确的为（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】A【分析】对于①，利用数列的单调性，通过累加法即可作出判断；对于②，先证明M
*
a单调递增；③若a
{}nN�，使得
n
n
k=，则对任意的2M>，陼存在000
a即可得到结果；对于③，判断数列>，再借助作差法2
n
2
��
n
��
a
�是有界的还是发散的即可.【详解】对于①，∵n
11
-a-a
n+1n+1
aae++-，∴=eaa又数列-，-=-
nn+1nn+1
aa
nn
a各项都为正数，∴
{}aa.1）当2
n
aa）假设=>，显然成立；（22
n=时，1
1
a则>，2
nk=时，k
17
-a
k+1
eaa+=记-+，2>
k+1k
a2
k
-x
fxex=+，x>，0
()()
-x-x
�
fxe，∴=->10xefx()=+在0,+上单调递增，�
()()
7
-2
fefa22+=，对2
k+1
*
a∵>.2
"�，都有nNn
-a
n+1
e，∴�0,1
a>∴0,()
n+1
11
-a
n+1
aae-a=--，又-->a1
nnn+1n
aa
nn
1
yx-=-在21
(2,上单调递增，+�又)
x
11
a-∴，数列a>2=--01>
n+1n
a>，∴2
n22
a单调递增，命题正确；对于③，∵
{}
n
1
-a
n+1
eaa-+=+，2
nn+1
a
n
∴数列


111
-a
n+1
aaae，即+-=-212>--aa->12-，又
nnn+1nn+1
aaa
nnn
13
aaa-，∴>-221-=
nnn+1
a>，∴2
n
22
33
��
aa->-2
nn+1
��
22
��，∴
3
��
n-1
aa�+>-21
n��1
2
��，∴
222
nnn
恒成立，则S．若对任意的>D0
n�N，nn+1n
*
S>，则0SS>恒成立
n�N，均有nnn+1
∴


dd
��
2
Snan=+-
n��1
*
S关于
22
项和公式可得n，可看作��n的二次函数且nn�N，对于选项
2
Snn=-，即可判断正误；对于选项2
C，举出反例n
A和B，根据二次函数的性质即可判断正误；对于选项
S>并结合二次函数性质，即可得出0a>，0
n1d.>，即可判断正误，从而得出答案【详解】解：由于等差数列前0
D，由
nn-1
()dd
��
2
Snadnan=+=+-
n11��
222
��，对于选项A，若
n项和公式
S有最大项，故选项
S有最大值，则数列{}
n
d>，则0nA正确；对于选项
S有最大项，则
{}
S对应的二次函数有最大值时，可知
n
ndS，故=-，则0a>，0{}
n
n�N，均有n1d>，则0
D，若对任意的
nn(-1)dd
��
2
Snadnan=+=+-
*
n11��
n�N，可看成
222()
n项和公式的应用，��
S关于
n的二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查逻辑推理能力和函数思想.6．（2020·全国·n高三专题练习）等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差
a和a是函数
d>，068
151
2
xxxfx．A=+-的极值点，则下列说法正确的是（ ）8nl
()
42
15
a=【答案】ACD
8
S8=－B．3a=．C-7aD=-．17
8112
【答案】ABD【分析】由等差数列的前


151
2
fxxxx()【详解】由题得出答案=+-的极值点，可以计算出数列的公差以及首项即可得ln8
a和a是函数
6842
15115
2
xxxx-+--)()(8
115
15
'
422
fxxx=�==，又因为公差0,
fxx'8-+===，令()
()
12
4xxx22
1
�
ad+=5
1
�
�
2
�
15
18()aa+
15
�18
ad+=7
a=,a=，所以S=.=-故选：ACD【点睛】本题主要考查了极值点以及等差数列的通项式和前83
1
688
a.=-所以17
�
�，经计算，2
d>，所以02212
n项和，属于基础题。三、填空题7．（2022·全国·高三专题练习）已知：
naaaa>1,,,,,L为整数且
123n
aaaaaaaa=�=+++�+的值验证得出答案.LLL，则n的最小值为_____________．【答案】5【分析】根据题意，由小到大代入整数n【详解】根据题意，3102
123123nn
nnN��*2，.
aaaa可看成是方程a+==所以12,a·1320
n=时，题中等式化简为21212
2
xx的两个实数解=+-而方程的判别式为031023102
2
，显然方程的判别式为开不尽的数n所以上述方程无整数解，即��==-01323201341320
n=不符合题意；2
aaaaaa根据题意，可设==++··1320
n=时，题中等式化为3123123
aaa��，且为整数，又aaa,.
1231236013362131171=�=��
【解析】首先根据


aaa�-=+-23102
�
123
�
a�2015
�
2013
�3
aa·1=�
�
12
�
a�2013
①同时为负整数时，aa,a
3�显然不存在满足题目条件的3
12� 此时得
a，即aa同时为负整数时不符合题意；,
312
aaa=-+�20132
�
123
�
2013
�
aa·1=�
12
�
②同时为正数时，aa,aa此时，�1120
12�得 33
a�，显然不满足条件；671
3
三个数中有一个为0③时，情况与aaa,,
123n所以=相同2
n=时，不符合题意；3
aaaa���由
n=时，同上可设4123410233671=�知，当
均为整数时， aaaa,,,a当�，显然不符合题意671
12344
aa+=2015
�
34
�
aa·2013=
存在负数时， aaaa,,,aa==-，此时有1
�同34
123412
所以，aa.,
n=时的分析方法，不存在符合条件的234
n=不符合题意；4
aaaaa=浙江·=·-===，此时满足题中条件所以满足条件的n25.故答案为：5.8．（20的最小值为2龙港中学高三阶段练习）等差数列0132,1,1
n=时，取512345
2
2*
(annad+��=+，则)412,N
{a满足}()aa+的取值范
nn-1
n
nn+1
围____是__．【答案】
[2,2]-【分析】由题设可得
11
-，tf((1)0)-=+>，满足要
�
时，-
naann��=+2,N．若不等式
a中，
{}a=，1()
nn-1na+对任意的1
n
1
n
*
nN�恒成立，则实数l的取值范
围____是__．【答案】
2,【分析】由已知得+�)
[
nn(+1)
a=，代入不等式，由恒成立思想可得答案.【详解】解：∵
n
aan-=，
nn-12
运用累加法求得
ana，即=+naa-=，∴
n�时，2nn-1nn-1
aaaaaaaa+-++-+=-()()L()
nnnnn---112211


nn+1
()
=-+++=+nn211L．又
()
2
nn+1
()
a=．不等式
n
a=也1
1
n=时，1符合上式，∴2
2
l>
2
ln+1
1+
>
nn+，∵1
na+化为1()
n
2
，当fx单调递增；)(
0
'
nx+��时，(,)
fx()0且(0
b�，1b，
r均为
常数）的图象上.(1)求
r的值；(2)当
n+1
*
bnN=�，
()
n
b的前
{}3；(T)由（2），是
4a
n
b=时，记2n求数列n项和n
m
32-且(0
n
nN�，点b�，1b，
r均为
常数）的图象上，所以得
n
Sbr=+，当
n
aSbr==+，
n=时，1
11
当


nnn--11
baSSbrbrb又因为=-=+-+=-，1
()
()
nnn-1
n�时，2
bb-1
a()
2
==b
a为等比数列，
{}abr+，解得ab，=-1
nb，所以
\公比为1r=-，首项11
n-1
解：当)2\=- ；(bba1
()
n
nnn+++111
b===
n
n-1nn-+11
a=，22442a�，则
b=时，2nn
2341n+12341n+
T=+++�+，\=+++�+，两式相减，得T
nn
2341n+3452n+
222222222
11
��
1-
��
31n-
12111111311nnn+++
22
��
T-+++�+==+-=--
n
13412222nnnnn+++++
1
22222222422
1-，
2
31133nn++
解：若\=--=- ；(3)T
n
nnn++11
22222
nm+3
��
mnm+3
\--，2
这样的
m>，所以存在40m二=：符合题意.题型数14
20
形合思想一、单选题1结．（2022·全国·高三专题练习）记
S为数列{}a的前项和，已知点(,)na在
yx满足n=-上，若有且只有两个正整数201
nnn
直线
Sk�，则实数k的取值范
n
围 是（ ）
当


(8,14]B．(14,18]C．
81
(18,]
(18,20]D．
4【答案】C【解析】由已知可得数列
a为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得
{}
n
2
Snn+=-，由二次函数的性质可得9S取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可
nn5=或时，4n
求得k的取值范围．【详解】解：由已知可得
an-，=由102
n
a为等差数列，首项为8，公差为-2，所以
aa-=-，所以数列2{}
n
nn-1
nn(1)-
2
Snnn时，或5=+�-=-4，当n=+9)2(8
n
2
S取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足
n

Sk�，所以满足条件的
n
n=和4n因为=，5
SS的取值范==，所以实数k81
36
18,20．故选：C．【点睛】方法点睛：最值范
(]
围是
围问题常1用的方法有：（）函数单调性法；（2）数形3结合法；（）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知
灵活选择合适的方法求2.解．（2020·黑
aab,,�
�
max,{ba}=
�
龙江·牡丹江一中高三阶段练习（理））定义bab,自然对数的
2
�，�（e为
fx在�-2xe上恒成立，则实数�,1
()[]
t的取值范
底数），若围___为___.【答案】
��
2e
-�,
��
�
e
��【分析】先设
��1
2
xexxg-=-,nlxam
()
��
fx在�-2xe上恒成立等�,1txxg�-在2xe上恒成立，在�,1
()[]()[]
2
�，则价于
1
yx，=-ln
2
直角坐标系中��