第二章　函数的概念与基本初等函数一遍过·高考数学


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考点3　函数及其表示


过基础真题分层1 基础题组


∪D.(-∞,-3)(1,+∞)
∪题组1　函数的概念及表示答案1.D
　【解析】由题意,　得x2+2x-3>0,解得x>1或x-3)0时,y=10lg x=x,故函数的值域为(0,+∞).只有D选项符合.光速解
　易知函数y=10lg x中x>0,排除选项A、C,因为10lg x必为正值,所以排除选项B.故选D.
过基础·真题分层1 基础题组5. [2016全国Ⅱ卷·10,5分,难度★☆☆☆☆] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y= 题组1　函数的概念及表示答案5.D


　【解析】因为f　[g(1)]=1,且f(x)=5|x|,所以g(1)=0 ,即a·12-1=0,解得a=1. 【方法技巧】
　函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值,因此由函数关系求函数值,只需将f(x)中的x用对应的值代入计算即可.若涉及计算f[f(a)]时,一般要遵循由里到外、逐层计算的原则.
过基础·真题分层1 基础题组6. [2014江西卷·3,5分,难度★☆☆☆☆] 已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f [g(1)]=1,则a=A.1B.2C.3D.-1题组1　函数的概念及表示答案6.A


　　　　.  题组1　函数的概念及表示答案7.(0,+∞)
　【解析】的自变量满足∴函数f(x)=+ln x　x>0,即定义域为(0,+∞).
过基础·真题分层1 基础题组7. [2020北京卷·11,5分,难度★☆☆☆☆] 函数f(x)=+ln x的定义域是


　　　　　.  题组1　函数的概念及表示答案8.[2,+∞)
　【解析】f要使函数　(x)有意义,则log2x-1≥0,即x≥2,则函数f(x)的定义域是[2,+∞).
过基础·真题分层1 基础题组8. [2018江苏卷·5,5分,难度★☆☆☆☆] 函数f(x)=的定义域为


　【解析】(π由题意,得g　)=0,f(0)=0,故选B.
过基础·真题分层1 基础题组9. [2012福建卷·9,5分,难度★☆☆☆☆] 设f(x)=g(x)=则f(g(π))的值为A.1B.0C.-1D.π 题组2　分段函数及其应用答案9.B


　【解析】∵　f(-2)=2-2=,1-f∴f(-2))=f()=(,∴选 C.
过基础·真题分层1 基础题组10. [2015陕西卷·4,5分,难度★☆☆☆☆] 设f(x)=则f(f(-2))=A.-1B.C.D. 题组2　分段函数及其应用答案10.C


　【解析】0,因为-10,所以f[f(-1)]=f(2)=a·22=1,解得a=. 【方法技巧】
　已知分段函数的解析式求其函数值的关键是根据自变量所在的区间,代入对应的解析式求解;若已知函数值求自变量,则应根据每一段的解析式分别求解,但需检验求得的值是否在相应的自变量的取值范围内.
过基础·真题分层1 基础题组11. [2014江西卷·4,5分,难度★☆☆☆☆] 已知函数f(x)=(a∈R),若f[f(-1)]=1,则a=A.B.C.1D.2 题组2　分段函数及其应用答案11.A


　【解析】f因为　(x)=f(a)=-3,所以或得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-,选A.
过基础·真题分层1 基础题组12. [2015全国Ⅰ卷·10,5分,难度★★☆☆☆] 已知函数f(x)=且f(a)=-3,则 f(6-a)=A.-B.-C.-D.- 题组2　分段函数及其应用答案12.A


　　　.  题组2　分段函数及其应用答案13.(-∞,2)
　【解析】(-当x　≥1时,x≤0,当x2,所以f()=6-4=2,所以f(f())=f(2)=1+a=3,解得a=2.
过基础·真题分层1 基础题组14. [2021浙江卷·12,4分,难度★☆☆☆☆] 已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=


过能力真题分层2 中档题组


　【解析】x|当x>0时,|　=x,sgn x=1,则|x|=xsgn x;当x时,3×(-b)-b=4,解得b=(舍);当-b≥1,即b≤时,=4,解得b=.故选D.
过能力·真题分层2 中档题组2. [2015山东卷·10,5分,难度★★☆☆☆] 设函数f(x)=若f(f())=4,则b=A.1B.C.D. 答案2.D


　【解析】当x>0　时,x+,所以f(x+)=f(x+),即f(x+1)=f(x),所以f(6)=f(5)=f(4)=…=f(1)=-f(-1)=2. 【方法技巧】
　本题中,在变换f(x+)=f(x-)为f(x+1)=f(x)时,注意定义域的变化.
过能力·真题分层2 中档题组3. [2016山东卷·9,5分,难度★★☆☆☆] 已知函数f(x)的定义域为R.当x时, f(x+)=f(x-).则f(6)=A.-2B.-1C.0D.2 答案3.D


　【解析】,∵f(1)=a　sin 1+b+c,f(-1)=asin(-1)+b×(-1)+c=-asin 1-b+c∴f(-1)=-f(1)+2cf①.把　(1)=4,f(-1)=6代入①式,得c=5
2Z,故排除A;把f∈3,f(-1)=1代入①式,得c=(1)=∈Z,故排除B;把f(1)=3f(-1)=4代入①式,得c=2,∈Z,故排除C;把f(1)=1,f(-1)=2代入①式,得c=
∉Z.故选D.
过能力·真题分层2 中档题组4. [2011福建卷·9,5分,难度★★☆☆☆] 对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2答案4.D


　【解析】t因为　2=(a+1)2=a2+2a+1(t≥0),所以t与a2+2a具有一一对应关系. 【方法技巧】
　解决本题的关键是检查函数是否具有一一对应关系,对于B项,要注意参数t≥0这一限制条件,这样才能快速解题.
过能力·真题分层2 中档题组5. [2015浙江卷·8,5分,难度★★☆☆☆] 设实数a,b,t满足|a+1|=|sin b|=t.A.若t确定,则b2唯一确定B.若t确定,则a2+2a唯一确定C.若t确定,则sin 唯一确定D.若t确定,则a2+a唯一确定 答案5.B


　【解析】s当x=或时,　in 2x均为1,而sin x与x2+x此时均有两个值,故A,B错误.对于C,当x=1或-1时,x2+1=2,而|x+1|有两个值,故C错误.故选D.
过能力·真题分层2 中档题组6. [2015浙江卷·7,5分,难度★★☆☆☆] 存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有A.f(sin 2x)=sin xB.f(sin 2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案6.D


　【解析】,当01,f(a)=,f(a+1)=2(a+1-1)=2aa∵f(a)=f(2a+1),=∴a,解得a=或a=0(舍去).∴f()=f(4)=2×(4-1)=6.当a>1时,a+1>2,
∴f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,2(.a-1)=2a,无解∴当a=1时,a+1=2,f(1)=0,f(2)=2,不符合题意.综上,f()=6.故选C.
过能力·真题分层2 中档题组7. [2017山东卷·9,5分,难度★★☆☆☆] 设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()=A.2B.4C.6D.8 答案7.C


　　　　.  答案8.-2
　【解析】f∵　()=-tan =-1,ff(∴())=f(-1)=2×(-1)3=-2.
过能力·真题分层2 中档题组8. [2013福建卷·13,4分,难度★☆☆☆☆] 已知函数f(x)=则f(f())=


　　　　. 答案9.3
　【解析】,由题意　f(2)=1+|4-a|=1,得a=4,所以f(1)=|1-1|+|1-4|=3.
过能力·真题分层2 中档题组9. [2014上海卷·3,4分,难度★☆☆☆☆] 设常数a∈R,函数f(x)=|x-1|+|x2-a|.若f(2)=1,则f(1)=


　　　　,b=. 　　　　答案10.-2
　1　【解析】因为f(x)-f　(a)=x3+3x2-a3-3a2,(x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax+a2)=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b,所以得a=-2,b=1.
过能力·真题分层2 中档题组10. [2016浙江卷·12,6分,难度★☆☆☆☆] 设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=


　　　　.  答案11.
　【解析】1由f　(x)=f2(x)=f()=,又可得f3⇒(x)=f(f2(x))=,故可猜想f2 014(x)=.
过能力·真题分层2 中档题组11. [2014陕西卷·14,5分,难度★★☆☆☆] 已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为


　　　　. 答案12.-
　【解析】当-1≤x≤0　时,有0≤x+1≤1,所以f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x),又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=f(1+x)=-. 【方法技巧】
　对于分段函数解析式的求解问题,首先要将所求的区间变换到已知的区间,本题已知函数在[0,1]上的对应法则,所以一定要想方设法将-1≤x≤0变到区间[0,1]上.
过能力·真题分层2 中档题组12. [2013安徽卷·14,5分,难度★★☆☆☆] 定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=


　　　　.  答案13.
　【解析】f当a≤0时,　(a)=a2+2a+2>0,f(f(a))0时,f(a)=-a2,f(f(a))=a4-2a2+2=2,则a=±或a=0,故a=.
过能力·真题分层2 中档题组13. [2014浙江卷·15,4分,难度★★☆☆☆] 设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a=


　　　.  答案14.(-,+∞)
　【解析】当x>0时,f(x)=2x　>1恒成立,当x->0,即x>时,f(x-)=>1,当x>0且x-≤0,即00时,不等式f(x)+f(x-)>1恒成立.当x≤0时,f(x)+f(x-)=x+1+x+=2x+>1,所以-1的x的取值范围是


考点4　函数的基本性质


过基础真题分层1 基础题组


　【解析】y函数y=,　=ln(x+1)在(-1,1)上都是增函数,函数y=cos x在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,函数y=2-x=()x在(-1,1)上是减函数,故选D.
过基础·真题分层1 基础题组1. [2016北京卷·4,5分,难度★☆☆☆☆] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是A.y=B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x 题组1　函数的单调性与最值答案1.D


　【解析】得由x2-2x-8>0,　x4.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)(4,+)∞∪.注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),选D. 【
规律总结】复合函数(　只限由两个函数复合而成的)单调性的判断找方法(1):出复合函数是由哪;(2)而成的两个函数复合当外函数为对数函数时,找
按照“;(3)分别求出两函数的单调区间;(4)出内函数的定义域同增异减”确定复合函数的单调区间.
过基础·真题分层1 基础题组2. [2017全国Ⅱ卷·8,5分,难度★☆☆☆☆] 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)题组1　函数的单调性与最值答案2.D


　　　　. 题组1　函数的单调性与最值答案3.-6
　【解析】由　f(x)=可得函数f(x)的单调递增区间为[-,+∞),故3=-,解得a=-6.
过基础·真题分层1 基础题组3. [2012安徽卷·13,5分,难度★☆☆☆☆] 若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=


　　　　,f(x)的最小值是组.  题　　　　1　函数的单调性与最值答案4.-
　2-6　【解析】4因为f(-2)=　,f(4)=-,所以f(f(-2))=-.当x≤1时,f(x)min=0;当x>1时,f(x)min=2-6.又2-60,所以f(x)=x3-在(0,+∞)上单调递增,排除B,故选A.
过基础·真题分层1 基础题组12. [2020全国Ⅱ卷·10,5分,难度★☆☆☆☆] 设函数f(x)=x3-,则f(x)A.是


论A.D(x)的值域为错误的是{0,1}B.D(x)是
偶(C.D函数x)不是
周期D.函数D(x)不是单调函数 题组4　函数性质的综合应用答案13.C
　【解析】若x为无理数,　则x+1也x