第四章　三角函数与解三角形一遍过·高考数学


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考点1　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式


过基础必备知识 新题精练


　∵点P(sin α,tan α)在第四象限,sin ,∴α>0,tan α-sin α>0,(易错警示:忽视sin α,cos α的符号及大小关系,造成多解)即tan α>-1,所以tan α=-.解法二
　由sin α+cos α=①,平方得1+2sin αcos α=,得2sin αcos α=-　,(题眼)则(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=.因为α(
--,),且0-sin α>0,sin α-cos α=∈　②,(易错警示:注意判断sin α-cos α的符号)联立①②,解得所以tan α==-.
过基础·必备知识 新题精练10. [2022山东济南质检]已知α(


过能力关键能力 强化提升


　===·=·=×=,故选A.
过能力·关键能力 强化提升1. [2022陕西期末]已知tan α=2,则=A.B.C.D. 答案1.A


Rt以直角边AC,AB为直径的半圆的面积分别为×π×()2=,×π×()2=,则=,即=,在　△ABC中,tan θ=tan=ABC=∠,则===-1,故选A.
过能力·关键能力 强化提升2. [2022河北邯郸期末]如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,已知以直角边AC,AB为直径的半圆的面积的比值为,记∠ABC=θ,则的值为A.-1B.-2C.0D.1 答案2. A


心D.(,A.(,)B.(,)C.(,)角位于) 答案3. B
　取AB=BC≈7 cm,设∠ABC=2θ.过点B作BD⊥AC,交于D,则sin θ ≈ =0.AC9(从提示:.圆外引一点向圆所
的两条切线长相等,并且这点与圆心的连线垂直平分两切点的连线)设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆
心αα,则角为+2θ=π,(题眼)∴cos α=cos(π-2θ)=-cos 2θ=2sin2θ-1≈0.62.cos
∵=≈0.707,cos==0.5,∴α(,)
∈.故选B.
过能力·关键能力 强化提升3. [2022湖南名校联考]某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧(如图),在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆


门不]在平面直角坐标系中,设角α模拟(的终边与两坐标轴重合)上异于原点的
任)P(x,y意一点与原点之间的距离我们规r为,定:比值,,分别叫做α角的正割、余割、余,分别记作sec 切α,csc α,cot α,把y=sec x,y=csc x,y=cot x分别
叫做正割函数、余割函数、余切函数,则下列叙述正确+A.cos α的是sec α≥2B.y=sec x的定
义域≠{x|x为kπ,k∈Z}C.cot 2α=D.(sec α+cos α)2+(csc α+sin α)2≥9 答案4. CD
cos 由题意得,sec α=,c　c α=,cot α=,s∴α+sec α=cos α+,可能为负数,故错A误;y=sec x=的定义域≠{x|x为kπ+,k∈Z},故B错
误;cot 2α==,而=,故C正确;(sec α+cos α)2+(csc α+sin α)2=(+cos α)2+(+sin α)2=+cos2α+2++sin2α+2=5+=5+≥5+4=9,故D正确.故选CD.
过能力·关键能力 强化提升4. (多选)[2022广东江


　因为==3,所以tan α=2,故A正确;因为tan α==2>0,且-0,cos α>0,由=3>0,可得sin α-cos α>0,故B错
误;sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α====,故C正确;===,故D正确.故选ACD.
过能力·关键能力 强化提升5. (多选)[2022广东名校联考]已知=3,-0,y>0,由2ln(2x-y)=ln(x2+y2),可得(2x-y)2=x2+y2,　可得=,所以tan α==,cos α=,sin α=,所以2cos α-sin α=2×-=1.
过能力·关键能力 强化提升6. [2022江苏


程x2-ax+a=0的两个实则,数根实数a的值为
　　　　. 答案7. 1-
的方∵sin θ,cos θ是关于x　 程x2-ax+a=0的两个实数根,Δ=a2-4a≥0,∴即a≥4或a≤0,则得a2-2a-1=0,解得a=1-或a=1+(舍去),
∴a=1-.
过能力·关键能力 强化提升7. [2022高三名校联考]若sin θ,cos θ是关于x的方


沙),]已知α质检β(0,,且sin(π-α)=∈cos(-β),cos(β)=-cos(π+β),则α+-α=　　　　.  答案8.
　由sin(π-α)=cos(-β),cos(-α)=-cos(π+β),得sin α=sin β,cos α=cos β,所以sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β,即1+2cos2α=2,则cos2α=.因为α(0,),
,所以cos α=,α=,所以cos β=,又β(0,)∈∈所以β=,所以α+β=+=.
过能力·关键能力 强化提升8.[2022湖南长


频易错 高效快攻
过易错高


频易错 高快效攻9. [2022广
义理解答当致误不案9. B
州阶段训的顶点为坐标原点]已知角α练,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有A(1,m),B(两点m,4),则cos α=A.±B.C.±D. 易错点 　对三角函数的定
　记O为坐标原点,由题意可知O(0,0),A(1,m),B(m,4)三点共=,则m≠0,所以=,解得m线±2,又A,B两点位于同一象限,所以m=2,(题眼)则A(1,2),所以cos α===,故选B.
过易错·高


频易错 高快效攻10. [2022湖南
义理解答当致误不案10.
岳,]在平面直角坐标系中阳一模角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点(-2,y),且tan(π-α)=2,则sin α=
　　　　. 易错点 　对三角函数的定
　 ∵tan(π-α)=2,tan ),α=-2,又角α的终边过点(∴-2,y∴角α是第二象限角,由同角三角函数的基本关系∴, sin α=.可得
过易错·高


恒等变换
考点2　三角


过基础必备知识 新题精练


差三角函数公式的答案1. D
州阶段训os]cos 50°cos 160°-c练 40°sin 160°=A.
　　B.　　C.-.D　　- 题组1　两角和与
　解法一o因为c　s 40°=cos(90°-50°)=sin 50°,所以原式=cos 50°cos 160°-sin 50°sin 160°=cos(50°+160°)=cos 210°=-cos 30°=-,故选D.解法二
　因为cos 50°=cos(90°-40°)=sin 40°,所以原式=sin 40°cos 160°-cos 40°sin 160°=sin(40°-160°)=sin(-120°)=-,故选D.
过基础·必备知识 新题精练1. [2022广


差答三角函数公式的案2. A
九师联盟]质检已知sin(α+)=,α(,),则∈cos α=A.B.C.D. 题组1　两角和与
　由α(,),α得∈+(,),]则cos(α+)=-=-,cos α=cos[(α+)-∈=cos(α+)cos+sin(α+)sin=-×+×=,故选A.
过基础·必备知识 新题精练2. [2022河北


差答三角函数公式的案3. A
　 4sin 40°-tan 40°=4sin 40°-========.故选A.
过基础·必备知识 新题精练3. [2022江苏模拟]4sin 40°-tan 40°的值为A.B.C.D.2-1 题组1　两角和与


差三角函数公式的答案4.
石家庄]一模已知α(0,),tan==,∈α则　　　　.  题组1　两角和与
　由tan ==,得sin(cos α+cos)=cos(sin α-sin),sincos iα+sincos=coss∴n α-cossin,即sincos+cossin=cossin α-sincos α,即sin=sin(α-),
α(0,),∵∈(∴-α∈-,),∴=α-,得α=+=.
过基础·必备知识 新题精练4. [2022河北


差三角函数公式的答案5.
太α]已知原质检为锐=,sin(α-)=,则角cos(α+)　　　　.  题组1　两角和与
　因为sin(α-)=,α为锐,所以cos(α-)=,cos(α+角)=cos[(α-)+]=[cos(α-)-sin(α-)]=.
过基础·必备知识 新题精练5. [2022山西


倍公式答案角6. A
京六校联合体调]已知cos θ=,研则sin(2θ+)=A.-
　　　　　　　 B.C.D.- 题组2　二
　根据诱导公式与二倍角公式,得sin(2θ+)=cos 2θ=2cos2θ-1=-,故选A.
过基础·必备知识 新题精练6. [2022南


倍公式答案角7. A
期末]若tan θ=3,则cos 2θ=A.-B.-C.D. 题组2　二
　∵tan θ=3,cos 2∴θ===-,故选A.
过基础·必备知识 新题精练7. [2022辽宁营口


倍公式答案角8. A
京朝阳区期末]数学可以刻画现实世界中的和人体,谐美,例如结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美
的共性与黄金分割相黄金关.分割常数ω=也可以表2sin 18°,示成则=A.2B.C.-1D.+1 题组2　二
　由已知可得ω=2sin 18°,则=2sin 18°×===2,故选A.
过基础·必备知识 新题精练8. [2022北


倍案公式答角9. B
汕头一模]已知θ(0,),tan(,θ+)=-tan θ∈则=A.-B.-C.3D.- 题组2　二
　由θ(0,),sin 得t∈θ>0.tan(θ+)===-tan θ,整理,得tan θ=3或tan θ=-(舍去),an ∴θ=3cos θ,又sin2θ+cos2θ=1,θ(0,),sin
∈,cθ=∴os θ=,故===sin θ(cos θ-sin θ)=×(-)=-.故选B.
过基础·必备知识 新题精练9. [2022广东


倍公式答案角10. D
盟(一联考)]已知tan 20°+λcos 70°=3,则λ的值为A.B.2C.3D.4 题组2　二
　由已知可得,+λsin 20°=3,则sin 20°+λsin 20°cos 20°=3cos 20°,即sin 40°=3cos 20°-sin 20°=2 sin(60°-20°)=2 sin 40°,所以λ=4 ,故选D.
过基础·必备知识 新题精练10. [2022T8联


倍1公式答案角1. A
△ABC中,若tan A+tan B+=tan Atan B,则tan 2C=A.-2B.2C.-2D.2 题组2　二
　由已知可得tan A+tan B=tan Atan B-=(tan Atan B-1),所以tan(A+B)===-,所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,所以tan 2C===-2 .故选A.
过基础·必备知识 新题精练11. [2022江苏南通模拟]在


倍公式答案角12. C
深圳一]调已知=,则tan θ=A.B.-C.D.- 题组2　二
　因为====,所以tan=,所以tan θ===,故选C.
过基础·必备知识 新题精练12. [2022广东


倍公式答案角13. D
长春质(一监)]已知sin(α-)+cos α=,则sin(2α+)=A.B.C.-D.- 题组2　二
　因为sin(α-)+cos α=sin α-cos α+cos α=sin α+cos α=sin(α+)=,所以sin(2α+)=-cos[+(2α+)]=-cos[2(α+)]=2sin2(α+)-1=2×()2-1=-,故选D.
过基础·必备知识 新题精练13. [2022吉林


倍公式答案角14.
泰n ]已知ta安期末α=2,则的值为　　　　.  题组2　二
　 ∵tanα=2,=×∴=×=×=×=.
过基础·必备知识 新题精练14. [2022山东


过能力关键能力 强化提升


最)),,若f大值为 '(x0)=-(x0(0,π∈则tan x0=A.B.C.-D.- 答案1.A
其由题意, f (x)=sin x+acos x=·(sin x+cos x)=sin (x+φ),　中cos φ=,sin φ=.由f (x)的
最=,又a>0,所以a=2,故f (x)=sin 大值为可得x+2cos x,f '(x)=cos x-2sin x,则f '(x0)=cos x0-2sin x0=-,可得cos x0=2sin x0-,又cos2x0+sin2x0=1,所以(2sin x0-)2+sin2x0=1,解得sin x0=或sin x0=-(舍去),故cos x0=2sin x0-=,则tan x0==.故选A.
过能力·关键能力 强化提升1. [2022河南名校联考(二)]已知函数f(x)=sin x+acos x(a>0)的


部分学校阶段sin(]已知检测α+β)=,sin(α-β)=,则lo()2=A.2B.3C.4D.5 答案2. C
　因为sin(α+β)=,sin(α-β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=,所以sin αcos β=,cos αsin β=,所以==5,所以lo()2=lo52=4.故选C.
过能力·关键能力 强化提升2. [2022陕西


京市、盐城市的]已知一模+β=(α>0,β>0),则tan α+tan βα最A.B.1