第四章　三角函数与解三角形一遍过·高考数学


第13练　三角函数的概念、三角恒等变换


　由正切函数的周期性可知,tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(30°+45°)==2+,故选D. 答案
1 [2019全国Ⅰ卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]tan 255°=A.-2- B.-2+C.2- D.2+ 1.D


　∵y=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),y函数∴=sin 2x+cos 2x的最小正周期为=π.选C. 答案
2 [2017山东卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为A.B.C.πD.2π 2.C


　通解2由题意,知-+　kπ0,sin 2α0B.cos 2α0D.sin 2α0.因为cos 2α=2cos2α-1=,所以cos α=,sin α=±,得|tan α|=.由题意知|tan α|=||,所以|a-b|=. 答案
12 [2018全国Ⅰ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=A.B.C.D.1 12.B


∠AOB=60°时,s=A. B.C. D. 13.B
　由题意知,AB=OAB是等边三角形,所以△OA=2.连接OC,因为C是AB的中点,所以OC⊥AB,OC==,又CD⊥AB,所以O,C,D三点共线,所以CD=OD-OC=2-,所以s=AB+=2+=.故选B. 答案
13 [2022全国甲卷·8,5分,难度★★☆☆☆]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,


　　　　.  14.
　解法一因为　sin2(+α)=,所以=,=,得sin 2α=.解法二
　因为sin2(+α)=(cos α+sin α)2=(1+sin 2α)=,所以sin 2α=. 答案
14 [2020江苏卷·8,5分,难度★☆☆☆☆]已知sin2(+α)=,则sin 2α的值是


　　　　.  15.
　解法一α当角α的终边在第一象限时,取角　终边上一点P1(2,1),其关于y轴的对称点(-2,1)在角β的终边上,此时sin β=;当角α的终边在第二象限时,取角α终边上一点P2(-2,1),其关于y轴的对称点(2,1)在角β的终边上,此时sin β=.综上,sin β=.解法二
　令角α与角β均在区间(0,π)内,故角α与角β互补,得sin β=sin α=.解法三
　由已知可得,sin β=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sin α=(k∈Z). 答案
15 [2017北京卷·9,5分,难度★★☆☆☆]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=


　　　　. 16.-
n∵sin α+cos +β=1,cos α　sin β=0,si∴2α+cos2β+12sin αcos β=　①,cos2α+sin2β+0cos αsin β=2　②,两式②①相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,sin(
∴α+β)=-. 答案
16 [2018全国Ⅱ卷·15,5分,难度★★☆☆☆]已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=


=,cos 2β　　　　　　　　.  17.
　　因为α+β=,所以β=-α,所以3sin α-sin β=3sin α-sin(-α)=3sin α-cos α=sin(α-φ)=,其中sin φ=,cos φ=.所以α-φ=+2kπ,k∈Z,所以α=+φ+2kπ,k∈Z,所以sin α=sin(+φ+2kπ)=cos φ=,k∈Z.因为sin β=3sin α-=-,所以cos 2β=1-2sin2β=1-=. 答案
17 [2022浙江卷·13,6分,难度★★☆☆☆]若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=


　　　　.  18.
　通解 ==-,解得tan α=　2或tan α=-,当tan α=2时,sin 2α===,cos 2α===-,此时sin 2α+cos 2α=,同理当tan α=-时,sin 2α=-,cos 2α=,此时sin 2α+cos 2α=,所以sin(2α+)=(sin 2α+cos 2α)=.优解
　==-,则sin αcos(α+)=-cos αsin(α+),则=sin[(α+)-α]=sin(α+)cos α-cos(α+)sin α=sin(α+)cos α,则sin(α+)cos α=,则sin(2α+)=sin[(α+)+α]=sin(α+)cos α+cos(α+)sin α=sin(α+)cos α=×=. 答案
18 [2019江苏卷·13,5分,难度★★☆☆☆]已知=-,则sin(2α+)的值是


　　　　.  19.-(答案不唯一)
　由题意可得cos θ=-cos(θ+),sin θ=sin(θ+),所以cos θ=-cos θcos+sin θsin,sin θ=sin θcos+cos θsin,两式相加得cos θ+sin θ=(sin θ-cos θ)cos+(sin θ+cos θ)sin,得=,即-=tan,所以=tan(+θ)=tan(-),所以+θ=kπ-,k∈Z,可令k=0,则θ=-,故θ的一个值为-. 答案
19 [2021北京卷·14,5分,难度★★☆☆☆]若P(cos θ,sin θ)与Q(cos(θ+),sin(θ+))关于y轴对称,写出一个θ的值


　(1)因为tan α=,tan α=,所以sin α=cos α.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此,cos 2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β(0,π)
∈.又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=,所以tan 2α==-,因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-. 答案
20 [2018江苏卷·16,14分,难度★★☆☆☆]已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.(1)求cos 2α的值;(2)求tan(α-β)的值. 20.【参考答案】


　(1)由角α的终边过点P(-,-)得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.(2)由角α的终边过点P(-,-)得cos α=-,由sin(α+β)=得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=. 答案
21 [2018浙江卷·18,14分,难度★★☆☆☆]已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-,-).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 21.【参考答案】


第14练　三角函数的图象与性质


　解法一(常规求法)令-+2　kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.取k=0,则-≤x≤.因为(0,)⫋[-,],所以区间(0,)是函数f(x)的单调递增区间.故选A.解法二(判断
单调性法)当0=∴-ω+=-(,0),解得ω=ω>∴f(x)的最小正周期T==.故选C. 答案
2 [2020全国Ⅰ卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]设函数f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的图象


函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位,得长度到的图象y=sin(x-)函数,则f(x)=A.sin(-)B.sin(+)C.sin(2x-)D.sin(2x+) 3.B
　依,将y=题意sin(x-)的图象向左平移个单位长度,再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来得2的倍, f(x)的图象,所以y=sin(x-) 到 y=sin(x+)的图象 f(x)=sin(+)的图象. 答案
3 [2021全国乙卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]把


到3y=2sin 函数x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点A.向左
平移个单位长度B.向右
平移个单位长度C.向左
平移个单位长度D.向右
平移个单位长度 4.D
所以因为y=2sin(3　x+)=2sin[3(x+)],要得到iy=2s函数n 3x的图象,只要把函数y=2sin(3向右+)的图象上所有的点x
平移个单位,(长度易错:平移时注意确定平移方向与单位)故选长度D. 答案
4 [2022浙江卷·6,4分,难度★☆☆☆☆]为了得


邻的极.,则ω=A值点2B.C.1D. 5.A
　依f题意得函数(x)的最小正周期T==2×(-)=π,解得ω=2,选A. 答案
5 [2019全国Ⅱ卷·8,5分,难度★☆☆☆☆]若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相


卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0,|φ|2π,,可得(=∴,T=3π∴ω==.再f()=2及由|φ|0),已知f(x)在[0,2π]有且


选)[2022新高考Ⅱ卷·9,5分,难度★☆☆☆☆]已知函数f(x)=sin(2x+φ)(00,所以当k=0时,ω取得最小值,且最小值为3. 答案
14 [2022全国乙卷·15,5分,难度★★☆☆☆]记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0, 00的最小正整数x(为　　　　2.  16.
　由题图可知,T=-=(T为f(x)的最小正周期),得T=π,所以ω=2,所以f(x)=可x+φ).点(,0)2cos(2看作“五图法”中的第二个点,则2×+φ=,得φ=-,所以f(x)=2cos(2x-),所以f(-)=2cos[2×(-)-]=2cos(-)=2cos =1,f()点作=2cos(2×-)=2cos=0,所以(f(x)-f(-))(f(x)-f())>0,即(f(x)-1)f(x)>0,可得f(x)>1或f(x)或cos(2x-),所以C则(,).由余弦∈定AB理知2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=16+9-2×4×3×=9,所以AB=3.由正弦
定=,理得sin B=,易知B(0,),cos 所以∈B=,tan B==4.故选C. 解法二
　在,cABC中△os C=,AC=4,BC=3,所以由余弦定AB2=AC2+BC2理知-2AC·BC·cos C=16+9-2×4×3×=9,所以AB=3,所以
△ABC是等腰.三角形过点B作BD⊥AC于点D,则BD===,tan==,所以tan B==4.故选C. 【解
后反思】　本题中确定B的取值范围有一定的难度,但结合选项易知B(0,),∈或用解法二避开对B的取值范围的
讨论. 答案
1 [2020全国Ⅲ卷·11,5分,难度★☆☆☆☆]在


别,a,b为c.已知sin B+sin A·(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=A.B.C.D. 2.B
　因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin A·sin C-sin A·cos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C≠0,所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,因为A(0,π),
∈所以A=,由正弦
定sin C===,又00),则CD=2k.根据题意作出
大致图形,如图.在ABD△中,由余弦定AB2理得=AD2+BD2-2AD·Bs coD∠ADB=22+k2-2×2k×(-)=k2+2k+4.在
△ACD中,由余弦定理得C2=ADA2+CD2-2AD·CD cos kADC=22+(2∠)2-2×2×2k×=4k2-4k+4,则===4-=4-=4-,
∵k+1+≥2(当且仅时等k+1=,即k=-1当号成立),≥4-=,-∴2=(-1)24∴当取得最小值-1时,BD=k=-1. 答案
9 [2022全国甲卷·16,5分,难度★★☆☆☆]已知


△ABC的内角A,B,C的对边分别n a,b,c, 已知sin Csin(A-B)=si为Bsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cos A=,求
△ABC的周长. 10.【参考答案】
　(1)解法一C由sin 　sin(A-B)=sin Bsin(C-A)可得,sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A-sin Bcos Csin A,结合正弦
定==可得理accos B-bccos A=bccos A-abcos C,即accos B+abcos C=2bccos A
　(*).方
法一　由余弦定cos ac理可知B=,abcos C=,2bccos A=b2+c2-a2,代入(*)式整理得2a2=b2+c2.方
法二　利用三角形的射影定os ,得acc理B+abcos C=a(ccos B+bcos C)=a2,又2bccos A=b2+c2-a2,所以a2=b2+c2-a2,所以2a2=b2+c2.解法二
　因为A+B+C=π,所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A,所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,由正弦
定2a2=b2+c2理可得.(2)由(1)及a2=b2+c2-2bccos A得,a2=2bccos A,所以2bc=31.因为b2+c2=2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9,所以
△ABC的周长l=a+b+c=14. 答案
10 [2022全国乙卷·17,12分,难度★★☆☆☆]记


△ABC的内角A,B,C的对边分别a,b,c,为已知=.(1)若C=,求B;(2)求的最小值. 11.【参考答案】
　(1)因为=,所以=,所以=,所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,所以cos(A+B)=sin B,所以sin B=-cos C=-cos =,因为B(0,),
∈所以B=. 答案
11 [2022新高考Ⅰ卷·18,12分,难度★★☆☆☆]记


定==理得=====4cos2B+-5≥2-5=4-5,当且
仅当cos2B=时取等号,所以的最小值