第7讲 找规律一、找规律知识导航1.解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.⑵一列代数式规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.2.常见的数列规律：⑴ 1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．⑵ 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．⑶ 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．⑷ 2，5，10，17，26，…，（为正整数）．⑸ 0， 3， 8，15， 24，…，（为正整数）．⑹ 2， 6， 12， 20，…，（为正整数）．⑺ -，，-，，-，，…，（为正整数）．⑻，-，，-，，-，…，（为正整数）．⑼ 特殊数列：① 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.② 三角形数：1，3，6，10，15，21，…，.


.1.数列找规律例题1A.B.C.D.观察下列关于的表达式，探究其规律：，，，，．按照上述规律，第个表达式是（）．例题2
y≠_o
±»
…
…
…
…
…Í

z–Y]
Q%o
±»
 '
¯˜H
≥3A.B.C.D.已知，，，，，，推测的个位数是（）．2.图表找规律例题4è&
˚Õ&
=ç%˜)
•
°

?Å
=
z–`
Ï
î
I
z–
Qç%
˚Õ&
=
É
∫
˚Õ&
=H
≥5


如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第个格子中的数为，个格子中的数为．例题6≤
¯˜Í;
z–Ì_
Q
∫_
Q1_
Q_
Qç_
Q3_
Q
∫
u
Q1
u
Q
u
Qç
u
Q3
u
v&
=˜í
Q1
u
…
Q
∫_
√˜Æƃ˜í
Q
u
…
Qç_ ƃ` ˜Æƒ
=
√˜Æ
H
≥7
y≠
Ø
∫_˜≤
î_˜Ìfi_Õ»Í
.
ñ
z–Ìs
ù(
Q
u8∫
è˜
Q%˜
˜

Q
u8∫
è˜
Q%˜H
≥8


我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中的系数等等．根据上面的规律，写出的展开式．(1)b
8
Ø
=
z–
}
U(2)H
≥9Í
∫™
=
z–Ì_fi
=˜
v†è‚
GÓ”型框中间数字为时，框中五个数的和为．(1)Ó”型框中间数字为时，框中五个数的和为．(2)†

Ç“”型框中间的数为，请用含的代数式表示“”型框中五个数的和；(3)
r≤“”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.(4)


3.图形找规律例题10如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．例题11≤
∫4nŒ
?Å
=≥ê͆è‚
G
=
z–Ûı
Q%èÕ
%≥ê
Q%èÕ
%≥ê
Q%êÕ
%≥ê
Q%èÕ
%≥êI

z–
Q%èÕ
%≥ê第个图形第个图形第个图形第个图形��一�12
y≠_èÕ•<
Í
∫™
z–Ì_
=I
.

z–
Q%èÕ
%ú
¶H
≥13


如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数，，，为五边形数，依此类推，第个五边形数为．二、课后作业练习1
∫
a˜Í†Ì_`
Q%˜'
`.2
rÍ
∫™
z–Ì_
=˜Ï†…，则第个数可用代数式表示为．练习3A.；；B.；；C.；；D.；；观察下列单项式，，，，，……根据你发现的规律写出第个式子是，第个式子是， 第个式子是．（为正整数）下列选项正确的是（）．练习4
y≠
v
∫ØÂ
z–
v1
…
v
…
vç^c
8
v
∫&·w
=
∫
†^U&
…
…
=L^c' 


A.、、B.、、C.、、D.、、练习5A.B.C.D.根据如图中箭头的指向规律，从到再到，箭头的方向是以下图示中的（）．练习6A.B.C.D.已知一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式：第行第行第行第行第行按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数等于（） ．


练习7A.B.C.D.观察图中给出的四个点阵，表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第个点阵中的点的个数为（）．练习8A.B.C.D.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得到个小正方形，则需要操作的次数是（）．练习9≤
rø%®P
?Å
=3
{
Í
.è
=˚
$Ì_第一个图形第二个图形第三个图形��一�一���������一���一�����������一���������������一形��一�一���������(1)


第个图形中有多少个五角星？(2)
Q%èÕ&
ô¥%3
{
(3)
`.10fléß
˜§¨

Œ9
=
tE
Ö
|,
P
U
$&]“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：，它只有一项，系数为，它有两项，系数分别为，，系数和为，，它有三项，系数分别为，，，系数和为，，它有四项，系数分别为，，，，系数和为，根据以上规律，解答下列问题：展开式共有项，系数分别为．(1)∏∆»R

±
Y˜â'(2)
Ï
Ø
=
z–Y]
=∏∆»(3)三、课后故事奇怪的乌龟图　　传说在古时候，夏禹治水来到洛水．洛水中浮起一只大乌龟，乌龟背上有一个奇怪的图，如图１，图上有许多圈和点，这些圈和点表示什么意思呢？大家都弄不明白．一个人好奇地数了一下龟甲上的点数，再用数字表示出来，发现这里有非常有趣的关系．


　　　　　　　　　　　图１　　　　　　　　　图２如图２，把龟甲上的数填入正方形的方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，其和都等于15．有许多别的民族也很早就知道这个神奇的方图．印度人和阿拉伯人认为这个方图具有一种魔力，能够避邪恶，驱瘟疫．直到现在，还可以在印度看见有人在脖子上挂着印有方图的金属片．传说当然是不足为信的．但是，这种方图却反映了正整数的一种性质．我国古代把这种方图叫“纵横图”或者“九宫图”．国外把它叫做“幻方”．纵横图是怎样排出来的？靠碰运气行吗？不行．下面介绍我国南宋数学家杨辉创造的排列方法(如图３和图４)：　　　　　　 　　图３　　　　　　　　　图４　　先画一个图，把1到9从小到大斜着排进图中．然后把最上面的1和最下面的9对调；最左边的7和最右边的3对调；最后把最外面的4个数，填进中间的空格中，就得到了乌龟背上的图了．　　大约十五世纪，我国的纵横图传到欧洲，引起了人们的普遍兴趣，成千上万的人沉醉于幻方之中．德国画家丢勒（1427—1528）就是其中的一位．他找到了一个四阶幻方，如图５，并把它反映在他的著名版画《忧郁》中．它也许是欧洲最早的幻方．有趣的是，丢勒在这一幻方中把版画创作的年代1514也放了进去．他可能正是从这两个数出发，通过不断的试验而找出了其余的数字．


　　　　　　 　图５　　　　　　　　　　　　图６　　为了探索别的星球上是否有宇宙人，人类发射了能飞出太阳系的飞船．飞船上有照片、音乐，还有一幅四阶幻方图（如图６）．图上没有写数字，而是画的点点来代表数．啊，幻方已飞出地球啦！