【知识与能力】 1．掌握直角三角形的边角关系； 2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步分析问题、解决问题的能力．【情感态度与价值观】 通过本节的学习，渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯．教学目标教学目标


┓
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ ABCabc


┓
6
5
个
个
元
素三边两个锐角一个直角（已知）ABCabc


┓
△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，∠A＝30°，求∠B，a，c．ABCabc330°???


∠A＋ ∠ B＝ 90º（3）边角之间的关系解直角三角形的依据ABCabc
┓=asinAc
b
cosA=
c
a
tanA=
b=bcotaa
（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）锐角之间的关系


△中， （1）根据∠A=60°，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素．CAB┓探究（2）根据AC=3，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素？
在下图的RtABC


在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出其余的元素．结论


知识要点知识要点 解直角三角形    在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫解直角三角形．


【例1】在△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠B＝60°，解这个直角三角形.CBA┓abc


    【例2 】在△ABC中，∠C＝90°，a＝5， ，求∠A、∠B、c边． b=11CBA┓abc


2
5
   （1）在△ABC中，∠C＝90°，b＝30，c＝60，解直角三角形．小练习小练习CBA┓abc（2） △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，     Ⅰ．a＝6，sinA＝ ，求b，c，tanA；     Ⅱ．a＋c＝12，b＝8，求a，c，sinB．


已知两边两直角边一斜边，一直角边一边一角一锐角，一直角边一锐角，一斜边归纳


已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然；已知两边求一角，函数关系要选好；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除．优选关系式


仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．


方向角如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南


】如图， 在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔底C与A、B在同一直线上，试求该塔的高度．ACBD30°45°
【例3


340
．m x∴ 塔高CD 为 +==(0023)1
31-
)200(31+
解:设塔高CD=x m在Rt△BCD中，∵∠DNC=45°∴BC=x∴CA=400+x在Rt△ACD中，∵∠DAC=30°∴AC=xtan60°=400+x


┓α小练习小练习
（1）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1500米，从飞机上看地平面控制点B的俯角a=30°，求飞机A到控制点B距离．ABC


（2）如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=82°．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为45m，当时水位为+2m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到0.01m）．小练习小练习


解： =-\===��cot,45243307.14()cotcot820.14QACABCACBCmA所以观察所A到船只B的水平距离BC为307.14m．


【例4】如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ABDCPP145˚60˚


∵∠PBA= 60˚， ∠P1CA= 30˚，∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 30˚，在Rt△ADC中， CD=AD•cot∠ACD= x•cot60˚， 在Rt△ADB中， BD=AD•cot45˚= x•cot45˚，
∵BD－CD＝BC，BC＝18∴ x•cot45˚- x•cot60˚=18∴ x＝≈9×(3＋1.732)=42.588 5C�=�=31731060102
追赶鱼群，不会进入危险区．
解：设BD=x 海里由题


午8点整O一渔轮在小岛，的北偏东30°方向，距离
等20海里的于A处，正以
每南时10海里的速度向小偏东60°方向航行．
那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么确间？（精时到1分）． 10时44分小练习小练习
°60°AOBC
0
3
（2）正


跟踪西群由鱼向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行16海里到
达点C处，
又，得海岛A位于北偏测30°东如果鱼船不
改变向向继续航东航行．有没险触礁的危有？ 有触礁的危险小练习小练习
（3）如图，海岛A的周围15海里内有暗礁，鱼船


的横断面是等腰梯
，下图形是一槽燕尾的横断面，中其燕尾角B是45°，
，口宽AD是180mm外燕尾槽的
深度m70m是，求它的里宽口BC（精确到1mm）．
【例5】燕尾槽


等腰梯A中，形D=180mm，AE=70mm，∠B=45°AE⊥BC=AEtanBBE
AE70
EB===70
：答tanBtan∵∴又∵BE=EC∴45�
FAEBCFBCBEED+=++=2
=�+=270180320
它的里口宽BC长为320mm．
解：


到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助
，线将其转化和为直角三角形矩形的组合图形，从
而把求等腰梯形的下底的问题成化转解直角三角形的问题．
遇


引拉线固定电线
杆，拉线和地面求60°成，角拉线AC的长
及以拉线下端点A与杆DD的距离A底（精确到0.01米）．AC约
为5.77米AD约
为2.89米小练习小练习
如图，在离地面高度5米处


等腰梯ABCD形中，DC∥AB， DE⊥AB于E，AB=10，DE=6， cosA= ，求CD的长
3
5CD的
．
长为1小练习小练习
（2）如图，在


度、坡角
的面铅平直度h和高水宽度的比叫做坡
度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡
坡与水平面的夹角α叫做面角．坡
h
h
i==tana
l
()an坡角
坡


温州某公园入口处
原有三级台阶，每级台阶，为30高cm深为30cm．为方便
废人士残，现改拟将阶台为斜坡，设
台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现
将斜坡的坡为∠BCA设计角12°，求AC的长
度． （sin12°≈ 0.2079）
【例6 】（1）如图，


意，BD=60=得tanBDCCD
△DC中，∠C=12°
BD60
CD==
12tantanC�
60
=�282
0.2126
∴AC=282－60=222（cm）由题
解：在RtB


山坡上种树，要求
株距（相邻两树）的水平间离距是5.5m，测得斜
坡的倾角斜斜是24°，求坡上相邻两
树的坡面距离是多少精（确到0.1m）．
（2）如图，在


△中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
△中，=ACcosAAB∴答：斜
AC5.5
AB�==6.0()米解：在RtABC
cos0.9135A
坡上邻相两树的坡离距面是6米．
上述问题可以归结为： 在RtABC


向AC方沿渠开山修，为了加快施工
速度，要从小山的另一边同时施工
，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=500m，∠D=50°，
那么开挖
点E离D多远精（确到0.1m），正好能
使A、C、E成一条直线？小练习小练习
（1）如图，


，A、C、E在同一直线上使则∠ABD是
△BDE的一个外．角∴∠BED=ABD
∠－∠D=90°∴DE=BD·cosD=500×0.6428 =321.400≈321.4（m） 答：
开挖能E离D为321.4米点正好，使A、C、E成
一直线．
解：要


库大坝的横断面是梯形，
坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13
∶，斜坡CD的坡斜i=1:2.5度，求坡AB的坡面角α，
坝底宽AD和斜坡AB的长到精确（0.1m）． 坝
底AD的
宽，132.5m为斜坡AB的
长．72.7m为小练习小练习
（2）如图 ，水


用解直角三角形的知识解决
际实问题的一般程过是：归纳
将实际问题抽象为数学问题（
画出平面图形，转化题解直角三角形的问为）； （2）根据
条件的特点，适选当用锐角三角函数
等去 直角三角形； 解 （3）得到数学问题的答
案 ； （4）得到
实际问题的答案 ． 利
（1）


依CAB据abc
∠A＋ ∠ B＝ 90º（3）边角之间的关系1．解直角三角形的
┓asinAc=bcosAc=
a
b
tanA=
cotA=课堂小结课堂小结
b
a
（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）锐角之间的关系


利形解直角三角用的知识解决
实际问题的一般过程是：
将实际问题抽象为数学问题（
画出平面图形，转化题解直角三角形的问为）； （2）根据
条件的特点，适当选用锐角三角函数
等去 直角三角形； 解 （3）得到数学问题的答
案 ； （4）得到
实际问题的答案． 2．
（1）


3⑵∠A=60°，a+b=3+ ．3===02460ACABcosAcos解：（1）∠B = 90°-
∠A = 30°
CD3
┓
==2
0
isinAsnAC=60
2222
DCBABCABAC随堂练习随堂练习60°┓=-==-4322
1．在△ABC中，∠C=90°，解这个直角三角形．⑴∠A=60°，斜边上的高CD = ；


的DE=1，求CE若长．ACBED
2
tanB=CE＝5
4
2．在Rt△ABC中∠C＝90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB．（1）求tanB；（2）


222
QADBDAB+=
AD12
=\=insB
AB13
DBDA125
cosBtanB== ==
DABB351
3．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求：sinB，cosB，tanB的值．ABCD解:过点A作AD⊥BC于D，垂足为D∵AB=AC=13， AD⊥BC，BC=10∴BD=CD=5∴AD=12┓


个树AB的高度，一松人站在距
松树20米的E处，测得仰角∠ACD=56º，已知
人的高度．1是76米，求
树（精确到0.01米）．高解：在Rt△ACD中，tgC=AD/CD，∴AD=CDtanC=BEtanC=20×tan56º=20×1.4826≈29.65(米)．∴A