北师大版 九年级（下）2 二次函数的图象与性质（4）


你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?函数y=ax²+bx+c的图象 二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系? 想一想由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们可以作二次函数3(x-1)2+2的图象．


2
平一半的对值数绝项系y去一次35232xx提取二次项系数加上3511232xx配方:再减方3x6x5
2

32前两项合并同类x整理:三项化为平方形式,后项1

3

32或式顶x化简:去掉中括号老师提示点:配方后的表达式通常称为配方式12.
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?函数y=ax²+bx+c的图象 我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数3(x-1)2+2的图象. 想一想1.配方:


2
)2,1(:y3.列表:根据对称性标,选取适当值列表计算.…2914525点1429…∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶坐.3x12
直接画函数y=ax²+bx+c的图象 想一想4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象． 2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.x…-2-101234… ……


2
-5,(3●3X=y)2x12x31
2
2,(1●1yX=)3x6x5
做一做学了就用,别客气作出函数y=2x2-12x+13的图象.


2
yaxbxc
bc

2提取二次项a系数xx

ac


bbbc


a222xx


a方的平一半2配方:加上再减去一次项系数绝对值a2aa



b4acb

22224a整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.4x


2a4a



2abacabxa化简:去掉中括号老师提示:这个结果通常称为求顶点坐标公式.
2
例.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax²+bx+c的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 想一想1.配方:


2abacabxay
2

b4acb

24它它它它它.4,.

22a4a

22
1.y2x12x13;2.y5x80x391;
1


3.y2xx2;
.2123.4xxy

2

做一做顶点坐标公式因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： .2:abx它的对称轴是直线


y20.2250x0.9x01
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称． 做一做⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？⑶你是怎样计算的？与同伴交流.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用Y/m x/m 桥面 -5 0 510


？x20.225004000y⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少4你是怎样计算的？与同伴交流.可以将函数y=0.0225x2+0.9x910配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;+x02.2250x0.9x01
4000

222
0.2520x04x2002

9

400

20.2250x20

9

2
0.2520x021.
它它它它它它它它它它它20,1.
由点最低面知桥可此到离是距的面桥1m.


2
y0.0225x0.9x01
y20.2250x0.9x01
2
0.2520x021.
关于且左右两条钢缆0yY/m x/m 桥面 -5 0 51轴对称,
式右的钢缆的表达为边:
y20.0225x021.
2
5xx20.即.109.0022yy0.0252x0.9x01.
.1,20:,其顶点坐标为因此
它它它它它它它它它它它它它020204m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?


2
bacaba4y.10225.09.0100225.044422abac:44,222得由顶点坐标公式02.5022x0.9x01
y0.2025x0.9x01
b0.9
20,
2a20.0225
2
y0.2205x0.9x01.
由此可知桥面最低点
它它它它它它它它它它它20,1.
到桥面的距离是1m.
同理,右边标点坐顶物线的抛为:02,1.
 15 0 -5 它它它它它它它它它它Y/m x/m 桥面 0它它它202004m.
⑶你还有其他方法吗？与同伴交流.直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．


请你总结函数函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？


bb
直线x直线x
2a2a
2
2
b4acb
b4acb
当x时,最大值为
当x时,最小值为
2a4a
2a4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,向右平移;当 0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.小结 拓展二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系


2xxy
y;42.22xx16;23.3
1;5.2xy
4.yx1x2;
5.y3x3x9.
习题1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？3.你知道图2—7中右面钢缆的表达式是什么吗?.


课间活动请同学们注意安全安全小贴士


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