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第四章 三角形
4 用尺规作三角形
•豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？你能帮他画出来吗？回顾基本作图解决方法
三角形的基本元素是＿＿＿和＿＿＿。你会用尺规作一条线段等于已知线段吗？自己动手试一试！你会用尺规作一个角等于已知角吗？边角你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？
1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。已知：∠α，∠β，线段c。求作：△ABC，使∠A=∠α ，∠B=∠β，AB=c。αβc你能作出这个三角形吗？αβABCc假设这个三角形已作出
1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。αβABCc角角边
作法：(1)作∠DAF=∠α；(2)在射线AF上截取线段AB=c；(3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。△ABC就是所求作的三角形。DAFBCE你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？αβABCc
1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。回顾刚才作三角形的顺序角角夹边夹边角角还有没有其他的作法？
1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。请按照给出的作法作出图形对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。角角边αβABCc
作法：(1)作线段AB=c；(2)以A为顶点，以AB为一边，作∠DAB=∠α ；DABCEαβABCc你现在能帮助豆豆画出三角形了吗？以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。△ABC就是所求作的三角形。(3)
，ABC=∠α。假设这个三角形已作出BACαac
2.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。已知：线段a , c , ∠α。αac求作：△ABC，使BC=a，AB=c∠
2.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。αacBACacα边角边请按照给出的作法作出图形
BCDA作法:(1)作一条线段BC=a(2)以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α(3)在射线BD上截取线段BA=c(4)连接AC△ABC就是所求作的三角形。你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？BACacααac
2.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。回顾刚才作三角形的顺序边边夹角夹角边边还有没有其他的作法？
，ABC=∠α。对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。边角边BACαac尝试自己作图，并用语言表述作法
2.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。已知：线段a , c , ∠α。αac求作：△ABC，使BC=a，AB=c∠
作法:(1)作∠DBE=∠α(2)在射线BD、BE上分别截取BA=c，BC=a(3)连接AC△ABC就是所求作的三角形。BEDCA
(1)作∠···=∠ ··· ；(2)在···上截取，使··· = ··· ；(3)以···为顶点，以···为一边，作∠ ··· =∠ ··· ；(4)作一条线段··· = ··· ；(5)连接·· ，或连接··交··于点· · ；(6)分别以·· ， ··为圆心，以·· ， ···画弧，两弧交于···点；你知道的常用作图语言有哪些呢？
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。已知：线段 a，b，c。求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。abc尝试自己分析并作出这个三角形、写出作法。
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。已知：线段 a，b，c。求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。（1）作一条线段BC=a；（2）分别以B，C为圆心，以 c， b为半 径画弧，两弧交于A点；（3）连接AB,AC。△ABC就是所求作的三角形。abcBCA作法：你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？1.假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸上作出草图；2.在草图上标出已给的边、角的对应位置；3.从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；4.在3的基础上逐步向所求图形扩展。
1.你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。ab分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”，会发现是“已知两边及夹角求作三角形”，所以按照此方法作图。
已知：直角，线段a，b求作：直角三角形ABC，使BC=a，AC=b作法：(1)作∠DCE=90°(2)在射线CD、CE上分别截取CB=a，CA=b(3)连接AB△ABC就是所求作的三角形。CDEBA
2.已知∠α和∠β、线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且∠α的对边等于a。αa提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠ γ 。由此转换成已知∠β 和∠ γ及其这两角的夹边a，求作这个三角形。β
αβγ βγ aαBCAEFG作法：1.作∠α+∠β的补角∠ γ 2.作∠GBE= ∠β3.在射线BE上截取BC=a4.以C为顶点，CB为一边作∠FCB= ∠ γ 5.射线BG与射线CF相交于点A△ABC就是所求作的三角形。你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。abα分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺序。
αbaaABMNCC'作法：1.作∠MAN=∠α2.在射线AM上截取AB=b3.以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C， C'4、连接BC，BC'△ABC和△ABC'就是所求作的三角形。同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？你从中可以感悟到什么？
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。acα两边及夹角两边及一边的对角BEDCAαbaaABMNCC'
收获与感受
谈谈你本节课的
课间活动请同学们注意安全安全小贴士
励志名言励志名言形成天才的决定因素形成天才的决定因素应该是勤奋应该是勤奋
4 用尺规作三角形
•豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？你能帮他画出来吗？回顾基本作图解决方法
三角形的基本元素是＿＿＿和＿＿＿。你会用尺规作一条线段等于已知线段吗？自己动手试一试！你会用尺规作一个角等于已知角吗？边角你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？
1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。已知：∠α，∠β，线段c。求作：△ABC，使∠A=∠α ，∠B=∠β，AB=c。αβc你能作出这个三角形吗？αβABCc假设这个三角形已作出
1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。αβABCc角角边
作法：(1)作∠DAF=∠α；(2)在射线AF上截取线段AB=c；(3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。△ABC就是所求作的三角形。DAFBCE你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？αβABCc
1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。回顾刚才作三角形的顺序角角夹边夹边角角还有没有其他的作法？
1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。请按照给出的作法作出图形对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。角角边αβABCc
作法：(1)作线段AB=c；(2)以A为顶点，以AB为一边，作∠DAB=∠α ；DABCEαβABCc你现在能帮助豆豆画出三角形了吗？以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。△ABC就是所求作的三角形。(3)
，ABC=∠α。假设这个三角形已作出BACαac
2.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。已知：线段a , c , ∠α。αac求作：△ABC，使BC=a，AB=c∠
2.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。αacBACacα边角边请按照给出的作法作出图形
BCDA作法:(1)作一条线段BC=a(2)以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α(3)在射线BD上截取线段BA=c(4)连接AC△ABC就是所求作的三角形。你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？BACacααac
2.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。回顾刚才作三角形的顺序边边夹角夹角边边还有没有其他的作法？
，ABC=∠α。对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。边角边BACαac尝试自己作图，并用语言表述作法
2.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。已知：线段a , c , ∠α。αac求作：△ABC，使BC=a，AB=c∠
作法:(1)作∠DBE=∠α(2)在射线BD、BE上分别截取BA=c，BC=a(3)连接AC△ABC就是所求作的三角形。BEDCA
(1)作∠···=∠ ··· ；(2)在···上截取，使··· = ··· ；(3)以···为顶点，以···为一边，作∠ ··· =∠ ··· ；(4)作一条线段··· = ··· ；(5)连接·· ，或连接··交··于点· · ；(6)分别以·· ， ··为圆心，以·· ， ···画弧，两弧交于···点；你知道的常用作图语言有哪些呢？
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。已知：线段 a，b，c。求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。abc尝试自己分析并作出这个三角形、写出作法。
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。已知：线段 a，b，c。求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。（1）作一条线段BC=a；（2）分别以B，C为圆心，以 c， b为半 径画弧，两弧交于A点；（3）连接AB,AC。△ABC就是所求作的三角形。abcBCA作法：你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？1.假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸上作出草图；2.在草图上标出已给的边、角的对应位置；3.从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；4.在3的基础上逐步向所求图形扩展。
1.你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。ab分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”，会发现是“已知两边及夹角求作三角形”，所以按照此方法作图。
已知：直角，线段a，b求作：直角三角形ABC，使BC=a，AC=b作法：(1)作∠DCE=90°(2)在射线CD、CE上分别截取CB=a，CA=b(3)连接AB△ABC就是所求作的三角形。CDEBA
2.已知∠α和∠β、线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且∠α的对边等于a。αa提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠ γ 。由此转换成已知∠β 和∠ γ及其这两角的夹边a，求作这个三角形。β
αβγ βγ aαBCAEFG作法：1.作∠α+∠β的补角∠ γ 2.作∠GBE= ∠β3.在射线BE上截取BC=a4.以C为顶点，CB为一边作∠FCB= ∠ γ 5.射线BG与射线CF相交于点A△ABC就是所求作的三角形。你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。abα分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺序。
αbaaABMNCC'作法：1.作∠MAN=∠α2.在射线AM上截取AB=b3.以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C， C'4、连接BC，BC'△ABC和△ABC'就是所求作的三角形。同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？你从中可以感悟到什么？
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。acα两边及夹角两边及一边的对角BEDCAαbaaABMNCC'
收获与感受
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