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第四章 图形的相似1．已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( )A.＝ B.＝C.＝ D.＝2．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( )A．2∶3 B.∶C．4∶9 D．8∶27 图4－Y－13．如图4－Y－1所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则下列网格图中的三角形与△ABC相似的是( )图4－Y－2 图4－Y－34．如图4－Y－3，在△ABC中，DE∥BC，＝，BC＝12，则DE的长是( )A．3 B．4C．5 D．65．如图4－Y－4，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( )A．2∶3 B．3∶2 C．4∶5 D．4∶9图4－Y－4 图4－Y－56.如图4－Y－5，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使第 1 页
△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )A．P1 B．P2 C．P3 D．P47．如图4－Y－6，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝________．图4－Y－6 图4－Y－78．如图4－Y－7，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．2019·随州在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．2019·铜仁如图4－Y－8，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝2米，BC＝18米，则旗杆CD的高度是________米．图4－Y－8 图4－Y－911．如图4－Y－9，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，＝，则＝________．12．如图4－Y－10，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，第 2 页
图4－Y－10点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．13．如图4－Y－11，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.图4－Y－1114．如图4－Y－12，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．图4－Y－1215．如图4－Y－13，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5，AB＝8，AE∶AD＝4∶5，求AF的长．图4－Y－1316．如图4－Y－14，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，连接AD，过点B作BF⊥AD分别交AD于点E，交AC于点F.(1)如图4－Y－12(a)，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE.(2)如图4－Y－12(b)，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于点M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.图4－Y－141．A2．C [解析] 两个相似三角形面积的比是(2∶3)2＝4∶9.故选C.3．B [解析] 根据勾股定理，得AB＝＝2 ，BC＝，所以△ABC中夹直角的两边的比为＝2，第 3 页
观察各选项，只有B选项中的三角形符合．故选B.4．B [解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.∵BC＝12，∴DE＝BC＝4.故选B.5．A [解析] 由位似变换的性质可知A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵△A′B′C′与△ABC的面积比是4∶9，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶3，∴＝.6．C [解析] ∵∠BAC＝∠PED，而＝，∴当＝时，△ABC∽△EPD.∵DE＝4，∴EP＝6，∴点P落在点P3处．故选C.7．4 [解析] ∵AB∥CD，∴＝＝，即＝，解得AO＝4.8．答案不唯一，如DF∥AC或∠BFD＝∠A[解析] ∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD；②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED.(答案不唯一)9.或 [解析] 当＝时，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE＝＝＝；当＝时，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE＝＝＝.10．18 [解析] 如图：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∴＝，解得CD＝18(米)．故答案为18.11. [解析] ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，第 4 页
∴＝＝，∴＝＝.12．78 [解析] ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC＝＝25，△ABC的面积＝AB·AC＝×15×20＝150.∵AD＝5，∴CD＝AC－AD＝15.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠BAC＝90°.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，解得CE＝12，∴BE＝BC－CE＝13.∵△ABE的面积∶△ABC的面积＝BE∶BC＝13∶25，∴△ABE的面积＝×150＝78.13．证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，∴＝＝1.2，＝＝1.2，∴＝.又∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.14．解：(1)如图所示，△A1B1C1就是所求作的三角形．(2)如图所示，△A2B2C2就是所求作的三角形．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，∴S△A2B2C2＝8×10－×6×2－×4×8－×6×10＝28.15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC.(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°.在Rt△ADE中，AE＝AD×＝5×＝4，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得第 5 页
BE＝＝＝4 .在▱ABCD中，BC＝AD＝5.由(1)得△ABF∽△BEC，∴＝，即＝，∴AF＝2 .16．证明：(1)∵在Rt△ABE和Rt△DBE中，BA＝BD，BE＝BE，∴Rt△ABE≌Rt△DBE.(2)①如图，过点G作GH∥AD交BC于点H，∵AG＝BG，∴BH＝DH.∵BD＝4DC，设DC＝1，BD＝4，∴BH＝DH＝2.∵GH∥AD，∴＝＝，∴GM＝2MC.②如图，过点C作CN⊥AC交AD的延长线于点N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴＝.由①知GM＝2MC，∴2CN＝AG.∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝90°－∠BAE＝∠CAN.又∵∠ACN＝∠BAF＝90°，∴△ACN∽△BAF，第 6 页
∴＝.∵AB＝2AG，∴＝，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.第 7 页
△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )A．P1 B．P2 C．P3 D．P47．如图4－Y－6，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝________．图4－Y－6 图4－Y－78．如图4－Y－7，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．2019·随州在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．2019·铜仁如图4－Y－8，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝2米，BC＝18米，则旗杆CD的高度是________米．图4－Y－8 图4－Y－911．如图4－Y－9，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，＝，则＝________．12．如图4－Y－10，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，第 2 页
图4－Y－10点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．13．如图4－Y－11，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.图4－Y－1114．如图4－Y－12，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．图4－Y－1215．如图4－Y－13，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5，AB＝8，AE∶AD＝4∶5，求AF的长．图4－Y－1316．如图4－Y－14，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，连接AD，过点B作BF⊥AD分别交AD于点E，交AC于点F.(1)如图4－Y－12(a)，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE.(2)如图4－Y－12(b)，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于点M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.图4－Y－141．A2．C [解析] 两个相似三角形面积的比是(2∶3)2＝4∶9.故选C.3．B [解析] 根据勾股定理，得AB＝＝2 ，BC＝，所以△ABC中夹直角的两边的比为＝2，第 3 页
观察各选项，只有B选项中的三角形符合．故选B.4．B [解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.∵BC＝12，∴DE＝BC＝4.故选B.5．A [解析] 由位似变换的性质可知A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵△A′B′C′与△ABC的面积比是4∶9，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶3，∴＝.6．C [解析] ∵∠BAC＝∠PED，而＝，∴当＝时，△ABC∽△EPD.∵DE＝4，∴EP＝6，∴点P落在点P3处．故选C.7．4 [解析] ∵AB∥CD，∴＝＝，即＝，解得AO＝4.8．答案不唯一，如DF∥AC或∠BFD＝∠A[解析] ∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD；②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED.(答案不唯一)9.或 [解析] 当＝时，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE＝＝＝；当＝时，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE＝＝＝.10．18 [解析] 如图：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∴＝，解得CD＝18(米)．故答案为18.11. [解析] ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，第 4 页
∴＝＝，∴＝＝.12．78 [解析] ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC＝＝25，△ABC的面积＝AB·AC＝×15×20＝150.∵AD＝5，∴CD＝AC－AD＝15.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠BAC＝90°.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，解得CE＝12，∴BE＝BC－CE＝13.∵△ABE的面积∶△ABC的面积＝BE∶BC＝13∶25，∴△ABE的面积＝×150＝78.13．证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，∴＝＝1.2，＝＝1.2，∴＝.又∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.14．解：(1)如图所示，△A1B1C1就是所求作的三角形．(2)如图所示，△A2B2C2就是所求作的三角形．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，∴S△A2B2C2＝8×10－×6×2－×4×8－×6×10＝28.15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC.(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°.在Rt△ADE中，AE＝AD×＝5×＝4，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得第 5 页
BE＝＝＝4 .在▱ABCD中，BC＝AD＝5.由(1)得△ABF∽△BEC，∴＝，即＝，∴AF＝2 .16．证明：(1)∵在Rt△ABE和Rt△DBE中，BA＝BD，BE＝BE，∴Rt△ABE≌Rt△DBE.(2)①如图，过点G作GH∥AD交BC于点H，∵AG＝BG，∴BH＝DH.∵BD＝4DC，设DC＝1，BD＝4，∴BH＝DH＝2.∵GH∥AD，∴＝＝，∴GM＝2MC.②如图，过点C作CN⊥AC交AD的延长线于点N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴＝.由①知GM＝2MC，∴2CN＝AG.∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝90°－∠BAE＝∠CAN.又∵∠ACN＝∠BAF＝90°，∴△ACN∽△BAF，第 6 页
∴＝.∵AB＝2AG，∴＝，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.第 7 页
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