4　解直角三角形知识点 1　已知两边求其他元素　图1－4－11．如图1－4－1，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则∠B的度数为(　　)A．25° 　　　B．30° C．45° 　　　D．60°2．菱形ABCD的对角线AC＝6 ，BD＝6，则菱形的四个角的度数分别是______________．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，c＝5 ，求这个直角三角形的其他元素．知识点 2　已知一边、一角求其他元素4．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC的长为(　　)A．3sin40°　 B．3sin50°　C．3tan40° D．3tan50°5．[2019·抚顺模拟] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC等于(　　)A. B．1 C．2 D．3图1－4－26．如图1－4－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为________．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝45°，则a＝________，b＝________，∠B＝________°.(a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边)8．已知Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图1－4－3所示，求A，C两点的坐标．图1－4－39．等腰三角形的腰长为2 ，底边长为6，则底角等于()A．30° B．45° C．60° D．120°图1－4－4第 1 页


10．如图1－4－4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是(　　)A．4 cm B．6 cmC．8 cm D．10 cm11．如图1－4－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则AB的长为________．图1－4－5　　　图1－4－612．如图1－4－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝4 ，则AD＝________．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝2 ，b＝2，小王得到下面四个结论：①c＝4 ；②tanA＝；③sinA＋cosB＝1；④∠B＝30°.其中正确的结论是________．(只填序号)14．如图1－4－7，河流两岸a，b互相平行，A，B是河岸a上的两座建筑物，C，D是河岸b上的两点，A，B之间的距离为200 m．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度为________m.图1－4－715．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA＝__________．16．如图1－4－8，一块四边形土地，其中∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝30 m，CD＝50 m，求这块土地的面积．图1－4－817．如图1－4－9，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．图1－4－918．一副三角板如图1－4－10放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB第 2 页


＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，试求CD的长．图1－4－1019．如图1－4－11所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周长．(精确到1 mm)(参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75)图1－4－11图1－4－1220．如图1－4－12，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动．如果PQ＝，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．1．B　2.60°，120°，60°，120°3．解：∵sinA＝＝＝，∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°，∴∠B＝∠A，∴b＝a＝5.4．D　[解析] ∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°，又∵tanB＝，∴AC＝BC·tanB＝3tan50°.故选D.5．B　6.4 　7.5 　5 　458．解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵BC＝＝＝4，∴点C的坐标为(4，0)．在Rt△ABD中，sin30°＝，cos30°＝，而AO＝2 ，∴AD＝AOsin30°＝2 ×＝，BD＝AOcos30°＝2 ×＝3，∴点A的坐标为(3，)．9．A10．A　[解析] ∵∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，第 3 页


∴BD＝AD，∴CD＋BD＝8 cm.∵cos∠BDC＝＝，∴＝，解得CD＝3(cm)，∴BD＝5 cm，∴BC＝4 cm.故选A.11．3＋　[解析] 过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.∵∠A＝30°，AC＝2 ，∴CD＝，∴BD＝CD＝.由勾股定理得AD＝＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋.12．[解析] 在Rt△ABC中，sinB＝，AC＝AB·sinB＝4 ×＝2 .在Rt△ACD中，∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，cos∠DAC＝，AD＝＝＝4.13．①②③　[解析] 由勾股定理易求c＝4 ，①正确；tanA＝＝＝，②正确；sinA＋cosB＝＋＝＋＝＋＝1，③正确；tanB＝＝＝，∴∠B＝60°，④错误．14．100　[解析] 过点P作PE⊥AB于点E，∵∠APC＝75°，∠BPD＝30°，∴∠APB＝75°.∵∠BAP＝∠APC＝75°，∴∠APB＝∠BAP，∴AB＝PB＝200 m.∵∠ABP＝30°，∴PE＝PB＝100 m.15.或　[解析] 分两种情况：(1)如图①，BD是AC边上的中线，BD＝AC.设AD＝DC＝k，则BD＝AC＝2k.第 4 页


在Rt△BCD中，∵∠C＝90°，∴BC＝＝k，∴tanA＝＝＝；(2)如图②，AD是BC边上的中线，AD＝BC.设BD＝DC＝k，则AD＝BC＝2k.在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∴AC＝＝k，∴tanB＝＝＝.∵∠CAB＋∠B＝90°，∴tan∠CAB＝＝＝.综上可知，所求值为或.故答案为或.16．解：延长CA，DB交于点P，∵∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠ABP＝60°，∠ACD＝60°.在Rt△CDP中，tan∠ACD＝，PD＝CD·tan∠ACD＝50 ·tan60°＝150(m)．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝，PA＝AB·tan∠PBA＝30 ·tan60°＝90(m)，∴S四边形土地＝S△CDP－S△ABP＝×50 ×150－×30 ×90＝2400 (m2)．即这块土地的面积为2400 m2.17．解：如图，过点B作BE⊥MC，垂足为E，在Rt△ABC中，BC＝＝＝5，sin∠BAC＝＝.在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCE＝BC·sin∠BAC，第 5 页


∴BE＝5×＝，即点B到直线MC的距离是.18．过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 ，∴BC＝AC＝12 .∵AB∥CF，∴∠BCM＝45°，∴BM＝BC×sin45°＝12 ×＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4 ，∴CD＝CM－MD＝12－4 .19．解：如图，过点B作BE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F.∵∠α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝∠α＝36°.根据题意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm.在Rt△ABE中，sinα＝，∴AB＝≈＝40(mm)．在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，∴AD＝≈＝60(mm)．∴长方形卡片的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．20．4　[解析] 在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO＝＝.(1)当点P从O→B时，如图①、图②所示，点Q运动的路程为；(2)当点P从B→C时，如图③所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ＝90°.第 6 页


∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝30°，∴cos30°＝，∴AQ＝＝2，∴OQ＝2－1＝1.则点Q运动的路程为QO＝1；(3)当点P从C→A时，如图③所示，点Q运动的路程为QQ′＝2－.(4)当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1.∴点Q运动的总路程为＋1＋2－＋1＝4.第 7 页