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2.1 二次函数学习目标1、能够表示简单变量之间的二次函数关系2、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.一、【学前提示】提示1：函数 定义:在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.提示2：一次函数形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数，且a≠0.一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线. 提示3：正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数，且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线.提示4：反比例函数 形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的图像为双曲线. 如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像. 当K＞0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数 当K＜0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数提示5：二次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数.二、【方法点拨】点拨1：本节的重点是：表示简单变量之间的二次函数关系.点拨2：本节的难点是利用尝试求值的方法解决实际问题. 第 1 页
x为自变量)A.
y=2x B..= y C D.= y=y2a分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的x函数叫做x的二次函数.注意： 关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是A.2.函数
y=ax2+bx+c(，ab，是常数c)是二次函数的条件是A.
≠0，a，b≠0c≠0 B.，0，b≠0，c≠0 D.≠0a分析：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意：关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是D.3．下列函数中，不是二次函数的是（） A．y=2x2＋2x B．y=－x2 ++1第 2 页
点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意： （1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．本金：存入银行的钱叫做本金. 利息：取款时银行多付的钱叫做利息. 利率：；利息与本金的百分比叫做利率.利息计算公式 利息＝本金×利率×时间三、【思路拓展】步骤1：迁移导入：1. 已知函数是一次函数，求其解析式. 分析： 利用定义求一次函数解析式时，要保证.如本例中应保证 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为步骤2：本节课知识巩固1、下列各关系式中，属于二次函数的是(
光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就
会.5个橙子少结（1）问题中有那些变量
？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）
假设树园增种x棵橙子树，那么果园共有果少棵橙子多？这树平均每棵时结多少个橙子
？（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么
请你写之间的关系式y与x出.（4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多
？分析：一定要分析
好时意，根题实际情况，当果园的种的橙子树多的据候，每颗相产量也的应的减少.设
果园共有（100+x）棵树，这子表示出时棵树能结多少个橙每，然后算出总的产量
从而得到以析式；第解个问题由下表可四得到从左到右依次6，60480，填0495，60500，60495，60480，可以猜测当x逐
渐增大时，y也逐渐增．大当x取10时，y取最
大值．x大01于时，y的值反而减小因，此树时种10棵橙子当增，橙子的总产量最多．解：（1）变量有果园
里）棵树，平均每棵树结（.（2）果园共有（100+x面的橙子树的棵数，和果园的总产量600-5x）个橙子（3）因
此+100xY=(100+x)(600-5x)=-5x²果园橙子的总产量：+60000（4）从左到
右依次6，填0480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x逐
渐增大y，时也逐渐增大当．x取10时，y取最
大例2 (1)对
于二次函数y=x2的图象上两点P（x,y）、Q（m,n）：如果x＜m＜0,则y n; 如果0＜x＜m,则y n;如果是
仅有x＜m，则的能确定、ny大小吗？(2)、
对Py=-x2的图象上两点于二次函数（x,y）、Q（m,n）：如果x＜m＜0,则y n; 如果0＜x＜m,则y n;分析：根据函数y=x2的增减
性时当a>0：,在对称轴的随,y左侧着x的增大而减小；在
对称轴右随侧,y着x的增大而增的值最.大当x=0时函数y小.时，在a n， y n，第 3 页x/棵89101112y/个6048060495605006049560480
C．y=－x2 ++1 D．y=3－x(2－x) 分析：选项C中含有,所以C不是二次函数.答案是：C师生互动 共解难题一、【实例讲解】例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳
会结结】总结1：总总2：二次函数y=ax2的
线
性质1.抛物
的y=ax2线顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，
点坐标y= -x2y=x2抛物
抛物轴y=ax线2在x的上方(除顶点外),它的开口向并,上且向上无限展； 伸当a0时,在
对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增
除顶(的上方点轴y)外y轴位置对的下方( 除顶点)外在x轴
的值最.当x=0时函数y大小.当a<0时，在
对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减
的值最,当x=0时,函数y小大.积累运
方x在向轴开口上向下
用 学=3创新1.下列不是二次函数的是（ ）A．y会x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）2.函数y=（m2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m的值是（ ）A．m= -3或1 B．m=+1或-1 C．m= -3 D．m=33、.若
性向对称轴的,左侧y随着x的增大而减对称轴的左随y,侧着增x的大增而
.小在对称轴的右,侧随y 的增x着大 .在对称轴的右侧随y ,增x的着
大而增增减 大.大在而减
小在最值0值为大=0时x,最当.0值为
函数y=()k2－4x2+(k+2)是二次函数，x+3则.______k4.二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)中，当，b=0c≠0时，函数表达为式__当___；_
b≠0，c=0时，函数表达式为______；当=bc=0时，函数表达___式为___.5.在边
x cm(x<6)的
长m6 c为的正方形中间剪去一个边长为小正方形，剩下的四方框
形的面积为y，y与_之间的函数关系是x_____.6.小立
存入银行人民元500币，年利率为x%，两期到年，本息和为元(y不含利息税)，
y与，x_______之间的函数关系是若年利率为6%，两年到期元______的本利共.7．下列函数不属二次函数的是A.
y=(x－1)(x+2) B. y=(+1x)2C.
y=2()+3x2－2D.x 2y=1－x2拓展尝
新 突破自我8．已知函数
=(ym2－)mx2+()m－1x+m+1.(1)若这
m的值;(2)若这
个函数是一次函数，求
个函数是二次函数，则m的值应页第 4 怎样？当x=0时,最
二、【学
草块地是、长80 m宽60 m的矩，形欲在中间修筑两条互相垂直 宽 的
为x m的小路，这时草坪面积为 m2y.求y与，的函数关系式x并写出自变量值的取x范围.10.正方形的边
x cm时，正方形的面c ym2.(1)请写
长为1 cm，假设边长增加积增加
出y与x之间的关系表达式;(2)当正方形边
长分别增时，正方形的面1 cm， cm加，2 cm积增加多少？参
考答案积累运
用 学创会新1、分析：因为选项C中含有， 所以C不是二次函数；故答案是C.2、分析：由题意
得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m= -3或1故，本题答案是C.3、分析：由题意
k2－4≠0，所以答案是k≠2，k≠-24、
得
=y+ax2c y=+xa2bx y=xa2大5、
正方形的面积为36，剪掉的部分是x2 所以(=36y-x2 x<6)6、 分析：设
人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按
一年定期储蓄转存．如果存款额是500元，那么请你写出两年后本息和y(元的)的表考达式(不
y=500（1+x）2=500x2 +1000 x+500.所以本题答案是：
虑利息税)：
y=500x2 +1000 x+500 、 561.87、分析：选项C经过化简以
后不含有二次项了，所以答案是C.拓展尝
新 突破我8、自分析：要是一次函数
则使二次项系数等于零于一项系数，能等不零，要使函数是二次函数，
则使二次项系数不能等于零就行了.解：(1)∵
m2－m=0，或=0mm=1.∵
∴
m－1≠0，∴当
m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵
m2－m≠0，∴，m=01m2=1.则
当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.9.分析：可以用
x)m，,宽
割补法，草坪的面积可以看成个长，形方这个长方形的长是(80－
是(60－x)m;所以本题的答案是：解：
=(80－y－x0)(6x) =
02－14xx+4800(0≤x＜60).10、解：(1)
y=(2+1)x－1,∴
y=x2+2x.(2)当
x=1时，y=3;当
x=时，y=3+2当
x=2时，.=8y第 5 页
9．如图，一
x为自变量)A.
y=2x B..= y C D.= y=y2a分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的x函数叫做x的二次函数.注意： 关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是A.2.函数
y=ax2+bx+c(，ab，是常数c)是二次函数的条件是A.
≠0，a，b≠0c≠0 B.，0，b≠0，c≠0 D.≠0a分析：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意：关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是D.3．下列函数中，不是二次函数的是（） A．y=2x2＋2x B．y=－x2 ++1第 2 页
点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意： （1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．本金：存入银行的钱叫做本金. 利息：取款时银行多付的钱叫做利息. 利率：；利息与本金的百分比叫做利率.利息计算公式 利息＝本金×利率×时间三、【思路拓展】步骤1：迁移导入：1. 已知函数是一次函数，求其解析式. 分析： 利用定义求一次函数解析式时，要保证.如本例中应保证 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为步骤2：本节课知识巩固1、下列各关系式中，属于二次函数的是(
光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就
会.5个橙子少结（1）问题中有那些变量
？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）
假设树园增种x棵橙子树，那么果园共有果少棵橙子多？这树平均每棵时结多少个橙子
？（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么
请你写之间的关系式y与x出.（4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多
？分析：一定要分析
好时意，根题实际情况，当果园的种的橙子树多的据候，每颗相产量也的应的减少.设
果园共有（100+x）棵树，这子表示出时棵树能结多少个橙每，然后算出总的产量
从而得到以析式；第解个问题由下表可四得到从左到右依次6，60480，填0495，60500，60495，60480，可以猜测当x逐
渐增大时，y也逐渐增．大当x取10时，y取最
大值．x大01于时，y的值反而减小因，此树时种10棵橙子当增，橙子的总产量最多．解：（1）变量有果园
里）棵树，平均每棵树结（.（2）果园共有（100+x面的橙子树的棵数，和果园的总产量600-5x）个橙子（3）因
此+100xY=(100+x)(600-5x)=-5x²果园橙子的总产量：+60000（4）从左到
右依次6，填0480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x逐
渐增大y，时也逐渐增大当．x取10时，y取最
大例2 (1)对
于二次函数y=x2的图象上两点P（x,y）、Q（m,n）：如果x＜m＜0,则y n; 如果0＜x＜m,则y n;如果是
仅有x＜m，则的能确定、ny大小吗？(2)、
对Py=-x2的图象上两点于二次函数（x,y）、Q（m,n）：如果x＜m＜0,则y n; 如果0＜x＜m,则y n;分析：根据函数y=x2的增减
性时当a>0：,在对称轴的随,y左侧着x的增大而减小；在
对称轴右随侧,y着x的增大而增的值最.大当x=0时函数y小.时，在a n， y n，第 3 页x/棵89101112y/个6048060495605006049560480
C．y=－x2 ++1 D．y=3－x(2－x) 分析：选项C中含有,所以C不是二次函数.答案是：C师生互动 共解难题一、【实例讲解】例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳
会结结】总结1：总总2：二次函数y=ax2的
线
性质1.抛物
的y=ax2线顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，
点坐标y= -x2y=x2抛物
抛物轴y=ax线2在x的上方(除顶点外),它的开口向并,上且向上无限展； 伸当a0时,在
对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增
除顶(的上方点轴y)外y轴位置对的下方( 除顶点)外在x轴
的值最.当x=0时函数y大小.当a<0时，在
对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减
的值最,当x=0时,函数y小大.积累运
方x在向轴开口上向下
用 学=3创新1.下列不是二次函数的是（ ）A．y会x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）2.函数y=（m2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m的值是（ ）A．m= -3或1 B．m=+1或-1 C．m= -3 D．m=33、.若
性向对称轴的,左侧y随着x的增大而减对称轴的左随y,侧着增x的大增而
.小在对称轴的右,侧随y 的增x着大 .在对称轴的右侧随y ,增x的着
大而增增减 大.大在而减
小在最值0值为大=0时x,最当.0值为
函数y=()k2－4x2+(k+2)是二次函数，x+3则.______k4.二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)中，当，b=0c≠0时，函数表达为式__当___；_
b≠0，c=0时，函数表达式为______；当=bc=0时，函数表达___式为___.5.在边
x cm(x<6)的
长m6 c为的正方形中间剪去一个边长为小正方形，剩下的四方框
形的面积为y，y与_之间的函数关系是x_____.6.小立
存入银行人民元500币，年利率为x%，两期到年，本息和为元(y不含利息税)，
y与，x_______之间的函数关系是若年利率为6%，两年到期元______的本利共.7．下列函数不属二次函数的是A.
y=(x－1)(x+2) B. y=(+1x)2C.
y=2()+3x2－2D.x 2y=1－x2拓展尝
新 突破自我8．已知函数
=(ym2－)mx2+()m－1x+m+1.(1)若这
m的值;(2)若这
个函数是一次函数，求
个函数是二次函数，则m的值应页第 4 怎样？当x=0时,最
二、【学
草块地是、长80 m宽60 m的矩，形欲在中间修筑两条互相垂直 宽 的
为x m的小路，这时草坪面积为 m2y.求y与，的函数关系式x并写出自变量值的取x范围.10.正方形的边
x cm时，正方形的面c ym2.(1)请写
长为1 cm，假设边长增加积增加
出y与x之间的关系表达式;(2)当正方形边
长分别增时，正方形的面1 cm， cm加，2 cm积增加多少？参
考答案积累运
用 学创会新1、分析：因为选项C中含有， 所以C不是二次函数；故答案是C.2、分析：由题意
得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m= -3或1故，本题答案是C.3、分析：由题意
k2－4≠0，所以答案是k≠2，k≠-24、
得
=y+ax2c y=+xa2bx y=xa2大5、
正方形的面积为36，剪掉的部分是x2 所以(=36y-x2 x<6)6、 分析：设
人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按
一年定期储蓄转存．如果存款额是500元，那么请你写出两年后本息和y(元的)的表考达式(不
y=500（1+x）2=500x2 +1000 x+500.所以本题答案是：
虑利息税)：
y=500x2 +1000 x+500 、 561.87、分析：选项C经过化简以
后不含有二次项了，所以答案是C.拓展尝
新 突破我8、自分析：要是一次函数
则使二次项系数等于零于一项系数，能等不零，要使函数是二次函数，
则使二次项系数不能等于零就行了.解：(1)∵
m2－m=0，或=0mm=1.∵
∴
m－1≠0，∴当
m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵
m2－m≠0，∴，m=01m2=1.则
当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.9.分析：可以用
x)m，,宽
割补法，草坪的面积可以看成个长，形方这个长方形的长是(80－
是(60－x)m;所以本题的答案是：解：
=(80－y－x0)(6x) =
02－14xx+4800(0≤x＜60).10、解：(1)
y=(2+1)x－1,∴
y=x2+2x.(2)当
x=1时，y=3;当
x=时，y=3+2当
x=2时，.=8y第 5 页
9．如图，一
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