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第二章 二次函数 一、选择题(本大题共7小题，共28分)1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有()A．最小值－3 B．最大值－3C．最小值2 D．最大值22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x－10123y51－1－11则该二次函数图象的对称轴为( )A．y轴 B．直线x＝C．直线x＝2 D．直线x＝3．若二次函数y＝(m－1)x2－mx－m2＋1的图象过原点，则m的值为( )A．±1 B．0 C．1 D．－1图8－Z－14．一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图8－Z－1所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为( )图8－Z－25．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为( )A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x)C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)图8－Z－36．如图8－Z－3是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④若点B，C第 1 页
为函数图象上的两点，则y1＜y2.其中正确的是( )A．②④ B．①④ C．①③ D．②③图8－Z－47．如图8－Z－4，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为( )A．(，) B．(2，2)C．(，2) D．(2，)二、填空题(本大题共5小题，共25分)8．函数y＝(x－2)(3－x)取得最大值时，x＝________．9．将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．10．如图8－Z－5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图2－Z－7所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－x2＋b，则隧道底部宽AB为________m.图8－Z－5 图8－Z－611．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b>0；②a－b＋c0.又
对称轴在y轴的右侧，∴x＝－>0，∴b0，②错误
．设平移后的抛物线顶点为E，与x轴右边的交点为D，则阴影部分的面积与平行四边形CEDB的面积
相长∵平移了2个单位同．度，点C的纵坐标是－2，∴S＝2×2＝4，③正确．由抛物线的顶点坐标公式，得yC＝－2，∴＝－2.∵c＝－1，解得b2＝4a，④正确．
故3③④.12．(1＋，填)或(2，－3)13．解：(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，∴BC＝×12－x＝6－x.∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，第 4 页
3．D 4.C 5.C6．B [解
意可得：y＝(2)由题
意可得：
w＝化简
得：
w＝即
w＝由题
意，x可知，所以当x＝－2或x＝－3时应取整数w＜6125＜6250，故
当销售价格为每件65元时，月利润最大，最大月利润为6250元．(3)由题
意得0≥600w，如图，令＝6000，即6000＝－20(x＋)2＋6125，6000＝－10(wx－5)2＋6250，解得x1＝－5，x2＝0，x3＝10，∴－5≤x≤10，故
将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)，才能使每月利润不少于6000元．15．解：(1)设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A，B，C三点的坐标分
别代入y∴这个二次函数的表达式为可得解得＝x2－3x－4.(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，连
接OP，CP，如图①，∴PO＝PC，此
时点P即为满足条件的点．第 5 页
即y＝－x2＋3x.(2)y＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋4.5，∵a＝－＜0，∴y有最大值，当x＝3时，y有最大值，为4.5.14．解：(1)由题
合题，舍去)，意x2＝.∴存在
满足条P，其坐标为(，－2)．(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t，件的点t2－3t－4)．过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图②，∵B(4，0)，C(0，－4)，∴直线BC的函数表达式为y＝x－4，∴F(t，t－4)，∴PF＝(t－4)－(t2－3t－4)＝－t2＋4t，∴S△PBC＝S△PFC＋S△PFB＝PF·OE＋PF·BE＝PF·(OE＋BE)＝PF·OB＝(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，∴当t＝2时，S△PBC最大，且最大值为8，此
时t2－3t－4＝－6，∴当点P的坐标为(2，－6)时，△PBC的面积最大，最大面积为8.第 6 页
∵C(0，－4)，∴D(0，－2)，∴点P的纵坐标为－2.当y＝－2时，即x2－3x－4＝－2，解得x1＝(不
为函数图象上的两点，则y1＜y2.其中正确的是( )A．②④ B．①④ C．①③ D．②③图8－Z－47．如图8－Z－4，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为( )A．(，) B．(2，2)C．(，2) D．(2，)二、填空题(本大题共5小题，共25分)8．函数y＝(x－2)(3－x)取得最大值时，x＝________．9．将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．10．如图8－Z－5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图2－Z－7所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－x2＋b，则隧道底部宽AB为________m.图8－Z－5 图8－Z－611．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b>0；②a－b＋c0.又
对称轴在y轴的右侧，∴x＝－>0，∴b0，②错误
．设平移后的抛物线顶点为E，与x轴右边的交点为D，则阴影部分的面积与平行四边形CEDB的面积
相长∵平移了2个单位同．度，点C的纵坐标是－2，∴S＝2×2＝4，③正确．由抛物线的顶点坐标公式，得yC＝－2，∴＝－2.∵c＝－1，解得b2＝4a，④正确．
故3③④.12．(1＋，填)或(2，－3)13．解：(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，∴BC＝×12－x＝6－x.∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，第 4 页
3．D 4.C 5.C6．B [解
意可得：y＝(2)由题
意可得：
w＝化简
得：
w＝即
w＝由题
意，x可知，所以当x＝－2或x＝－3时应取整数w＜6125＜6250，故
当销售价格为每件65元时，月利润最大，最大月利润为6250元．(3)由题
意得0≥600w，如图，令＝6000，即6000＝－20(x＋)2＋6125，6000＝－10(wx－5)2＋6250，解得x1＝－5，x2＝0，x3＝10，∴－5≤x≤10，故
将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)，才能使每月利润不少于6000元．15．解：(1)设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A，B，C三点的坐标分
别代入y∴这个二次函数的表达式为可得解得＝x2－3x－4.(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，连
接OP，CP，如图①，∴PO＝PC，此
时点P即为满足条件的点．第 5 页
即y＝－x2＋3x.(2)y＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋4.5，∵a＝－＜0，∴y有最大值，当x＝3时，y有最大值，为4.5.14．解：(1)由题
合题，舍去)，意x2＝.∴存在
满足条P，其坐标为(，－2)．(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t，件的点t2－3t－4)．过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图②，∵B(4，0)，C(0，－4)，∴直线BC的函数表达式为y＝x－4，∴F(t，t－4)，∴PF＝(t－4)－(t2－3t－4)＝－t2＋4t，∴S△PBC＝S△PFC＋S△PFB＝PF·OE＋PF·BE＝PF·(OE＋BE)＝PF·OB＝(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，∴当t＝2时，S△PBC最大，且最大值为8，此
时t2－3t－4＝－6，∴当点P的坐标为(2，－6)时，△PBC的面积最大，最大面积为8.第 6 页
∵C(0，－4)，∴D(0，－2)，∴点P的纵坐标为－2.当y＝－2时，即x2－3x－4＝－2，解得x1＝(不
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