第二章　二次函数1．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是(　　)A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－Y－1所示，则(　　)A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0图2－Y－1　　　　图2－Y－23． 将如图2－Y－2所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式是(　　)A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝2(x－1)2＋1 D．y＝2(x＋1)2＋14 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－Y－3所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0；④－＜0，正确的是(　　)A．①② B．②④C．①③ D．③④图2－Y－3　　　图2－Y－45．如图2－Y－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，给出下列结论：第 1 页


①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其中正确的有(　　)A．1个 B．2个C．3个 D．4个6．若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．7． 如图2－Y－5，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为________．8． 已知函数y＝－(x－1)2的图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“＜”“＞”或“＝”)．图2－Y－5　　　图2－Y－69．如图2－Y－6，图中二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则下列命题中正确的有________(填序号)．①abc＞0；②b2＜4ac；③4a－2b＋c＞0；④2a＋b＞c.10．如图2－Y－7是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：图2－Y－7①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________．(只填序号)11． 已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是(　　)A．0 B．1 第 2 页


C．2 D．1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．12．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少？13．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；(2)求出水柱的最大高度是多少．图2－Y－814．我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示，对于这样的抛物线：(1)当抛物线经过点(－2，0)和(－1，3)时，求抛物线的表达式；(2)当抛物线的顶点在直线y＝－2x上时，求b的值；(3)如图2－Y－9，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，横坐标依次为－1，－2，－3，…，－n(n为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．图2－Y－9详解详析1．B2．B　[解析] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口向下，∴a＜0.∵二次函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.第 3 页


；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，结论③正确；∵抛物线的对称轴在y轴右
侧，∴－＞0，结论④错误
．故选C.5．C　[解析] ∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，∴①错误
；∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在y轴的左
侧，∴a，b同
号，∴b＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，∴②正确；∵x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0.∵对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，∴b＝2a，∴a－2a＋c＜0，即a＞c，∴③正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，第 4 页
∵对称轴为直线x＝－＞0，∴b＞0.故选B.3．C　[解析] 由图象，得原抛物线的表达式为y＝2x2－2.由平移规律，得平移后所得抛物线的表达式为y＝2(x－1)2＋1，故选C.4．C　[解析] ∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，结论②错误


增大而减函数图象上两点∵小．A(2，y1)，B(a，y2)，a＞2，∴y1＞y2.故
答案.9．①③④　[解析为：＞] ∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右
侧，与y轴交于负半轴，∴a＞0，－＞0，c＜0，∴b＜0，∴abc＞0，①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac，②错误
；当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＞0，③正确；∵0＜－＜1，∴－2a＜b＜0，∴2a＋b＞0＞c，④正确．故
答案⑤①③④.10．②为：　[解析] 根
据二次函数的性质、系程与二次函数方关的、式数与不等函的关系一一
判断即．由图象可知：a可＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误；观察象可知图，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，故②正确；根
据x轴的另一个交点是(对称性可知抛物线与－2，0)，故③错误；观察1，当图象可知＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误
；因时当x＝1为，y1有最大值，所以ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，即x(ax＋b)≤a＋b，故⑤正确．第 5 页
∴x＝－2和x＝0时的函数值相等，即x＝－2时，y＞0，∴4a－2b＋c＞0，∴④正确．∴正确的有②③④，3个，故选C.6．m>9　[解析] 由Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×m9.7．(－2，0)　[解析] 设Q(a，0)，由对称性知，＝1，∴a＝－2.即Q(－2，0)．8．＞　[解析] ∵函数y＝－(x－1)2，图象的对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的


答案[②⑤.11．为解析] (1)表示出根的
判别式，判断其正负即可得到结果；(2)将二次函数表达式
配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可；(3)根
据m的范围确定出顶点纵坐标的范围即x解：(1)∵函数y＝－可．2＋(m－1)x＋m(m为常数)，∴Δ＝(m－1)2＋4m＝(m＋1)2≥0，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.故选D.(2)证明：y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－(x－)2＋，其图象顶点坐标为(，)．把x＝
代入y＝(x＋1)2，得y＝(＋1)2＝，故不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上．(3)设z＝，当m＝－1时，z有最小值为0；当m＜－1时，z随m的
增大而减当m＞－1小；时，z随m的
增大而增当m＝－大．2时，z＝；当m＝3时，z＝4.则当－2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标z的取值范围是0≤z≤4.12．解：(1)
w＝(x－30)y＝(x－30)(－x＋60)＝－x2＋90x－1800.所以
w与x之间的函数关系式为－＝－x2＋90xw1800(30≤x≤60)．(2)
w＝－x2＋90x－1800＝－(x－45)2＋225.∵－1<0，∴当x＝45时，
w有最大值为225.答
：销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润为225元．(3)当
w＝200时，可得方程－(x－45)2＋225＝200.解得x1＝40，x2＝50.∵50＞42，∴x2＝50不
符合题意，应舍去．第 6 页
所以②⑤正确．故


：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个．13．解：(1)所建直角坐标系不
唯图，如一，以水管与地面原点为原点，交点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平
面直角坐标系．由题
意ay＝可设抛物线的表达式为(x－1)2＋h(0≤x≤3)．抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入
抛物线表达式可得解得∴水柱抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)．
化为一般为y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3)．(2)由(1)知抛物线的表达式为式y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)．当x＝1时，y最大＝.∴水柱的最大高度为米．14．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx经过点(－2，0)和(－1，3)，∴解得∴抛物线的表达式为y＝－3x2－6x.(2)∵抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标是(－，－)，且该点在直线y＝－2x上，∴－＝－2×(－)．∵a≠0，∴－b2＝4b，解得b1＝－4，b2＝0.(3)这组抛物线的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，由(2)可知，b＝－4或b＝0.①当b＝0时，抛物线的顶点在坐标原点，不
合题意，舍去，②当b＝－4时；抛物线的表达式为y＝ax2－4x.由题
意条抛物线的顶点为，第n可知An(－n，2n)，则Dn(－3n，2n)．∵以An为顶点的抛物线不可
能第过点Dn，设经(n＋k)(k为正整数)条抛物线经过点Dn，此时第(n＋k)条抛物线的顶点坐标是An＋k(－n－k，2n＋2k)，第 7 页
答


∴－＝－n－k，∴a＝＝－，∴第(n＋k)条抛物线的表达式为y＝－x2－4x.∵Dn(－3n，2n)在第(n＋k)条抛物线上，∴2n＝－×(－3n)2－4×(－3n)，解得k＝n.∵n，k为正整数，且n≤12，∴n1＝5，n2＝10.当n＝5时，k